Задачи устного тура тридцать первого Турнира Городов

Устный тур XXXI Турнира городов прошел 8 мая 2010 г. в Москве в школе 179 в форме устной олим­пи­ады.

Условия задач

Условия задач дос­тупны также в формате pdf.

Решения задач устного тура также доступны в формате pdf.

ТРИД­ЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 8 мая 2010 г.


1. Про пи­рами­ду SA1A2…An из­вест­но, что ее ос­но­вание A1A2…An — пра­виль­ный n-уголь­ник, а все боковые грани — рав­но­бед­ренные тре­уголь­ни­ки (равные стороны не обя­затель­но с вер­ши­ной S). Обя­затель­но ли эта пи­рами­да пра­виль­ная, если
а) n=5?
б) n > 5?
Г. Галь­пе­рин


2. В ки­ноте­ат­ре два зала с оди­нако­вым числом мест. В каждом зале нес­коль­ко рядов (места в любом ряду ну­меру­ют­ся подряд, начиная с единицы). Группа школь­ни­ков по­быва­ла на ут­реннем сеансе в первом зале, а на дневном сеансе — во втором, оба раза заняв все места. Из­вест­но, что в первом зале есть ряд из 10 мест, а во втором — нет. До­кажи­те, что най­дут­ся два школь­ни­ка, которые на одном из сеансов сидели в одном ряду, а на другом — имели оди­нако­вый номер места.
А.Буфетов


3. На плос­кости дана ок­ружность ω1 радиуса 1. На одной из ее хорд, как на ди­амет­ре, пост­ро­ена ок­ружность ω2. На одной из хорд ω2, как на ди­амет­ре, пост­ро­ена ок­ружность ω3, и т. д. Найдите на­иболь­шее воз­можное расс­то­яние между двумя точками, одна из которых при­над­ле­жит ω1, а другая при­над­ле­жит ω1000000.
М.Му­раш­кин


4. Ладья прош­лась по шах­матной доске 8×8, не проходя дважды через одну и ту же клетку. При этом все по­воро­ты направо де­лались в черных клетках, а налево — в белых. Какое на­иболь­шее число клеток могло быть прой­де­но?
А.Ша­пова­лов


5. Саша и Люда играют в игру. Саша должен пост­ро­ить опи­сан­ный 13-уголь­ник с одной за­дан­ной сто­роной, а Люда хочет ему по­мешать. Сначала Саша на­зыва­ет номер стороны — число k от 1 до 13. Затем Люда задает длину этой стороны — дей­стви­тель­ное по­ложи­тель­ное число s. Саша вы­иг­ра­ет, если опишет теперь вокруг еди­нич­но­го круга 13-уголь­ник, где длина k-й по ве­личи­не стороны равна s. Может ли Люда ему по­мешать? (Сторона k-я по ве­личи­не, если най­дут­ся k−1 сторон не короче нее, и при этом ос­таль­ные 13−k сторон не длиннее нее).
А.Ша­пова­лов


6. Обоз­на­чим через [a1,a2,…,an] про­из­ве­дение все­воз­можных по­пар­ных раз­ностей ai−aj, где 1 ≤ i < j ≤ n. До­кажи­те, что для любых на­тураль­ных a1,a2,…,an число [a1,a2,…,an] делится на [1,2,…,n].
М.Берш­тейн



По­беди­тели устного тура XXXI Турнира городов

По итогам очного тура Жюри приняло решение наг­ра­дить

БеляковСергейАлександровичМоскваСУНЦI
ГоловаАннаАлександровнаМоскваСУНЦI
ГорбаньСтепанДмитриевичМоскваСУНЦI
ГорбачеваИринаИгоревнаКраснодаршкола 64I
ДомбровскийАндрейОлеговичМосквашкола 1268I
КадыроваРенатаРинатовнаМоскваСУНЦI
КуприяновАлександрЭдуардовичЯрославльшкола 33I
МакаровНиколайВикторовичМосквашкола 57I
МеньщиковАндрейБорисовичМоскваСУНЦI
МокинВасилийБорисовичСаратовЛПНI
НиколаевСеменАлександровичМосквашкола 57I
ПокровскийФедорИльичМосквашкола 57I
СадковВикторАлександровичСаратовФТЛ 1I
СтароверовВладиславСергеевичМоскваСУНЦI
ТомасПавелВикторовичМоскваСУНЦI
 
 
БуркатовскийДмитрийСергеевичМосквашкола 57II
ВороновСергейОлеговичЯрославльшкола 33II
ГордиенкоЕкатеринаАлександровнаМосквашкола 57II
ДоледенокАлексейВадимовичМоскваСУНЦII
КапицынМаксимВладимировичМосквашкола 57II
КачаловВячеславНиколаевичМосквашкола "Интеллектуал"II
КозачинскийАлександрНиколаевичМосквалицей "Вторая школа"II
ЛамтюгинАлексейВалерьевичУльяновскшкола 21II
ЛевинНикитаВалерьевичМосквашкола 57II
ЛоктюховВладимирЕвгеньевичМосквалицей "Вторая школа"II
МедведьНикитаЮрьевичМосквалицей "Вторая школа"II
НовиковАлександрВячеславовичМосквашкола 179II
ПечинаАннаВладимировнаДолгопрудныйшкола 5II
ПушняковФилиппАнатольевичЯрославльшкола 58II
ПятковАлександрДмитриевичКургангимназия 31II
РевинЕвгенийВалериановичМоскваСУНЦII
ТелешеваОльгаДмитриевнаНабережныегимназия 26II
 
 
ВласенкоИванАлександровичЯрославльшкола 33III
ДовгалюкЕкатеринаЛеонидовнаНижний Новгородлицей 165III
ЖилинАлександрВикторовичМосквалицей "Вторая школа"III
ЗахваткинМаркМихайловичМосквалицей "Вторая школа"III
ИвановДаниилВладимировичМосквашкола 57III
КашигинЛевВикторовичМосквашкола 57III
КирюшкинаНадеждаВладимировнаВолжскийшкола 30III
МаксимоваМаринаСергеевнаМоскваСУНЦIII
МалаховАлександрИгоревичМосквалицей "Вторая школа"III
МалыхСофьяСергеевнаКировКФМЛIII
МироновДмитрийМихайловичМосквашкола 57III
ПевговаНаталияВячеславовнаМосквалицей "Вторая школа"III
ПивеньНикитаАндреевичМайкоплицей 8III
ПушняковАлексейСергеевичЯрославльшкола 58III
СандлерАндрейДмитриевичЯрославльшкола 33III
СечкинГеоргийМихайловичМосквашкола 57III
ТимофеевЮрийМихайловичМосквалицей "Вторая школа"III
ТрегубоваАннаАндреевнаМосквашкола 57III
ТужилинМихаилАлексеевичМосквалицей "Вторая школа"III
ФисакАнтонАлександровичНижний Новгородлицей 165III
ЧангЮльХонгиновичЖуковскийшкола 10III
ЧинаевНиколайНиколаевичМосквашкола 54III
ШафаревичАнтонАндреевичМосквалицей "Вторая школа"III
ШпилькинАлександрСергеевичМосквашкола 57III
ЮжанинДенисСергеевичКировКФМЛIII
ЯкуповаНеллиСергеевнаМосквалицей "Вторая школа"III