Задачи устного тура тридцать четвёртого Турнира Городов

Устный тур XXXIV Турнира городов прошел 14 марта 2013 г. в Москве в школе 179.

Условия задач

Условия задач, а также решения задач доступны в формате pdf.



ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 14 марта 2013 г.


1. На координатной плоскости нарисованы графики нескольких многочленов. Всегда ли можно дорисовать график ещё какого-нибудь многочлена так, чтобы он не пересекался с уже нарисованными?

2. В квадратной таблице 10×10 записано сто положительных чисел. Сумма чисел в каждой строке равна 100. Коле разрешается переставить числа внутри каждой из строк (но не между строками). После этого в каждом столбце найдут максимальное число и сложат найденные числа. Докажите, что Коля может добиться того, чтобы полученная сумма была меньше 300.

3. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон BC, CA и AB в точках X, Y и Z соответственно. На плоскости отметили точку K. Серединные перпендикуляры к отрезкам KX, KY и KZ пересекают прямые BC, CA и AB в точках X1, Y1 и Z1 соответственно. Докажите, что точки X1, Y1 и Z1 лежат на одной прямой.

4. Конечно или бесконечно множество натуральных чисел, у которых как в десятичной записи, так и в семеричной записи нет нуля?

5. У Клары есть комплект всевозможных бус из 4n бусинок, где каждая бусинка либо чёрная, либо белая. Карл испортил один экземпляр, переставив в нем бусинки. Клара хочет перекрасить как можно меньше бусинок в испорченном экземпляре, чтобы снова получились прежние бусы. Какое наибольшее число бусинок ей может понадобиться перекрасить? (Бусы, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются одинаковыми.)

6. Даны 1 000 000 окружностей, проходящих через одну точку. Докажите, что их можно разбить на 12 групп так, что среди окружностей одной группы ни одна не будет проходить через центр другой.

Победители и призёры устного тура XXXIV Турнира городов


По итогам устного тура Жюри приняло решение наградить


Подробно

ФАМИЛИЯИМЯГОРОДШКОЛАДиплом
БелоусовВладиславМоскваСУНЦI
ЗаславскийОлегМоскваг1543I
КулаковПетрМоскваСУНЦI
МарьинЕгорКировКФМЛI
ПавловВладиславМосква57I
ПеруновИванМосква179I
СазыкинДмитрийКурганл12I
СкоробогатовМаксимЕкатеринбургг9I
СуринМихаилМоскваСУНЦI
ФельдшеровСвятославМосква179I
ШабановЛевМоскваСУНЦI
ШагиевШамильНабережные Челныг26I
ШайхееваТалияКазаньЛЛКГУI
АкбаровАртурМоскваСУНЦII
БахчеджиоглуАтиллаКиевл208II
ВербаГлебЖуковскийг1II
ГороховПавелМоскваСУНЦII
ГребенниковаЮлияМоскваИнтеллектуалII
ГригоровичТатьянаМосква54II
Деб НатхДенисМоскваСУНЦII
КазьминаКристинаМосквал2II
КанаевАртемЛыткариног4 II
КорякинДанилКировКФМЛII
КотельниковаЮлияМоскваг1543II
КруковецДмитрийКиевл208II
КурбатовАндрейМосква1514II
ЛатышевАлексейКировКФМЛII
ЛубовскийАндрейМосква57II
МаксимовПетрМоскваСУНЦII
МатвеевМаксимНовосибирскг6II
НагайкоИванМосква179II
ОсиповаТатьянаМосква57II
ПтушкинаЕлизаветаМосква57II
ПуловаОксанаМосква57II
СадыковРинатМоскваСУНЦII
СлавовБогданМосква179II
ЦветниковРоманМоскваСУНЦII
ЩербаковАртемМосква57II
ЩербаньЯковЧерноголовка82II