Задачи устного тура тридцать третьего Турнира Городов

Устный тур XXXIII Турнира городов прошел 22 марта 2012 г. в Москве в школе 179.

Условия задач

Условия задач дос­тупны также в формате pdf.



ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 22 марта 2012 г.


1. Дано натуральное число, большее 4. За ход разрешается представить его в виде суммы нескольких неединичных натуральных слагаемых и заменить на их произведение. Докажите, что не более чем за 4 хода можно получить факториал какого-нибудь натурального числа.
И. И. Богданов

2. В цилиндрический колодец падает пучок параллельных лучей, причём ни одна точка дна не освещена. Докажите, что граница освещённой и неосвещённой областей колодца лежит в одной плоскости.
А. С. Бердников

3. В стране Флатландии двое близоруких полицейских ловят преступника. Все люди являются кругами диаметра 1 м на плоскости. Максимальная скорость полицейского равна 1 м/с, а преступник умеет двигаться со сколь угодно большой скоростью. Полицейский не видит преступника, пока не коснётся его, а как только касается — сразу ловит. Преступник всё видит. Дело происходит в круге диаметра D м, за который никто не может выйти. При каком наибольшем D полицейские могут действовать так, чтобы гарантированно поймать преступника?
В. Б. Мокин

4. В ряд стоят 100 коробок. В самой левой лежат 100 спичек, остальные пусты. За ход разрешается выбрать любые две соседние коробки и переложить одну спичку из левой коробки в правую, если после перекладывания в левой коробке будет не меньше спичек, чем в правой. Ходы делаются пока возможно. Докажите, что конечный результат не зависит от последовательности ходов.
А. Шень

5. Вписанная окружность касается сторон BC, CA, AB треугольника ABC в точках A1, B1, C1. Вневписанная окружность касается стороны BC и продолжений сторон CA, AB в точках A2, B2, C2. Через середины отрезков A1B1, A2B2 провели прямую l1, а через середины отрезков A1C1, A2С2 провели прямую l2. Докажите, что l1 и l2 пересекаются на высоте AH треугольника ABC.
А. А. Полянский

6. Даны квадратные трехчлены f(x), h(x) с единичными старшими коэффициентами и некоторый многочлен g(x) ненулевой степени. Известно, что f(g(h(x))) = h(g(f(x))) для всех x. Докажите, что если графики f(x) и h(x) имеют общую точку, то они совпадают.
Г. К. Жуков



Победители и призёры устного тура XXXIII Турнира городов

По итогам устного тура Жюри приняло решение наг­ра­дить



Результаты победителей

ФАМИЛИЯИМЯГОРОДШКОЛАДиплом
СтатникЕвгенийОмскг117I
АртемьевМихаилМосква1543I
БолбачанВасилийМоскваСУНЦ МГУI
БолотниковАлексейЕкатеринбургг9I
Гальковский ЕгорСанкт-Петербургл533I
ГореловИванМоскваСУНЦ МГУI
КосиновНикитаУльяновскл20I
СкутинАлександрМосквал2шI
 
АбугалиевРенатСамараМТЛII
БесманМихаилКурган48II
ГоликовАндрейМосквал2шII
ГончаренкоКириллНижний ТагилПГII
ГридневМаксимМоскваСУНЦ МГУII
ДеевРодионМоскваСУНЦ МГУII
ДумаревскийАлександрМосква25II
ЗакировАртемМосква2007II
ИвановОлегМосква1189II
КоротинАлександрСамараМТЛII
КошманДмитрийМосква1514II
КравцовДмитрийМоскваСУНЦ МГУII
КузинМихаилМосква25II
КульчицкийЮрийКиевл208II
ЛопатниковАлексейМоскваСУНЦ МГУII
ЛузинИгорьМосквал2шII
МазановАртёмМоскваСУНЦ МГУII
МатвеевскийДмитрийХарьковфмл27II
МатюнинВячеславНовосибирскг1II
НурумовАндрейМоскваСУНЦ МГУII
ОвчинниковВиталийНовосибирскг1II
ПуртоваМарияНабережные Челныг26II
СедовАлександрМоскваСУНЦ МГУII
СкутинЕвгенийМосквал2шII
ШелаковМихаилМосквал2шII
 
АндрееваАннаДолгопрудный5III
БегмаМаркМосква57III
БеллонинКириллМоскваСУНЦ МГУIII
БулейкоДенисМосква1514III
БурушеваЛейлаМосква25III
БуфеевВасилийМосква25III
ВиноградовАлексейМосква1514III
ГригорьевИгорьМосква57III
ДобровольскаяАннаМосква1514III
ДуковАндрейМоскваСУНЦ МГУIII
ЕрошенкоАлександрМосква57III
ЖариковИльяНабережные Челныг26III
КовальчукМихаилКрасноярск7III
Кожина ЕленаВологда1III
КориковКириллМоскваСУНЦ МГУIII
КулиевСергейМоскваСУНЦ МГУIII
ЛазаревДенисДолгопрудный5III
ЛахтановИванМоскваСУНЦ МГУIII
ЛункинАлексейМосква25III
МазловВладимирМосква57III
МаксаевАртёмМосквал2шIII
МанжинаОльгаМоскваСУНЦ МГУIII
НазмутдиновАскарМоскваСУНЦ МГУIII
Нови-ОклиВладиславМоскваСУНЦ МГУIII
ОноприенкоАнастасияМоскваСУНЦ МГУIII
Попов СергейМосква218III
РахматулинЯнКировКФМЛIII
РеутовАндрейГуковоЭЛIII
СагдеевАрсенийМоскваСУНЦ МГУIII
ТавыриковЮрийМоскваСУНЦ МГУIII
ТрошинВикторМоскваСУНЦ МГУIII
Туричина ДарьяСанкт-Петербургл533III
ФеклинаАнастасияМосква179III
ШигаревскийДмитрийВологда18III
ЮрашкуИванМоскваСУНЦ МГУIII