Задачи устного тура тридцать второго Турнира Городов

Устный тур XXXII Турнира городов прошел 17 марта 2011 г. в Москве в школе 179.

Условия задач

Условия задач дос­тупны также в формате pdf.

Решения задач устного тура также доступны в формате pdf.

ТРИДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 17 марта 2011 г.


1. В ряд выложено n монет. Два игрока по очереди выбирают монету и пе­рево­рачи­ва­ют её. Рас­по­ложе­ние орлов и решек не должно пов­то­рять­ся. Про­иг­ры­ва­ет тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?
Б. Р. Френкин

2. На доске написаны 49 на­тураль­ных чисел. Все их попарные суммы различны. Докажите, что наибольшее из чисел больше 600.
Б. Р. Френкин

3. Даны три попарно пе­ресе­ка­ющих­ся луча. В некий момент времени по каждому лучу из его начала начинает двигаться точка с постоянной скоростью. Известно, что эти три точки в любой момент времени образуют тре­уголь­ник, причем центр описанной окружности этого тре­уголь­ни­ка тоже движется равномерно и пря­моли­ней­но. Верно ли, что все эти тре­уголь­ни­ки подобны друг другу?
Ф. К. Нилов

4. Подм­но­жест­во сту­ден­ческой группы назовём идеальной компанией, если
1) в этом подм­но­жест­ве все девушки нравятся всем юношам;
2) в это подм­но­жест­во нельзя никого добавить, не нарушив условие 1. В некой группе учатся 9 студенток и 15 студентов. Староста группы составил список все­воз­можных идеальных компаний в этой группе. Какое наибольшее число компаний могло оказаться в этом списке?
А. А. Клячко, Б. Ф. Мельников

5. Найдите все такие пары на­тураль­ных чисел a и b, что a1000+1 делится на b619 и b1000+1 делится на a619.
М. В. Мурашкин

6. На плоскости расположен центрально-сим­метрич­ный выпуклый мно­го­уголь­ник площади 1 и две его копии (каждая получена из мно­го­уголь­ни­ка некоторым па­рал­лель­ным переносом). Известно, что никакая точка плоскости не покрыта тремя мно­го­уголь­ни­ками сразу. Докажите, что общая площадь, покрытая мно­го­уголь­ни­ками, не меньше 2.
И. И. Богданов



Победители и призёры устного тура XXXII Турнира городов

По итогам устного тура Жюри приняло решение наг­ра­дить

ФАМИЛИЯИМЯГОРОДШКОЛАДиплом
БорзовСтаниславЯрославль33I
БуроваОльгаМоскваЛ2ШI
ГонинРоманРаменскоегимназия г. РаменскоеI
ГрищенкоДмитрийМосква57I
ЖивцовПавелМосква57I
МинеевДмитрийМосква57I
МироновМихаилМосква57I
ОсиповМатвейУльяновскл20I
РешетниковИванДолгопрудный5I
ЦыбышевАлексейСамараг1I
ШидловскийДмитрийМоскваСУНЦI
 
ВоловичНадеждаМосква57II
ГорденкоАннаМосква1514II
ЖуковВячеславМосква57II
ЖуковГеоргийМосква25II
ЗаводовАлексейДолгопрудныйфмл5II
ИоновАндрейМосква57II
КондаковДаниилМосква1543II
КоротовДенисМосква1543II
КунявскийПавелСаратовФТЛ1II
ПахаревАлексейМоскваСУНЦII
РуховичДанилаМоскваСУНЦII
ТоршинДмитрийМосква57II
 
АнзонДарьяДолгопрудный5III
АржаковаЕлизаветаМосква1543III
БезменоваАлександраМоскваИнтеллектуалIII
ГагкаеваЗаринаМосква1543III
ГолубенкоДмитрийМоскваЛ2ШIII
ГурьяновАлексейМоскваЛ2ШIII
ЕгоровДмитрийУльяновскг44III
ЕрофеевВладиславМосква57III
ЕфимовКириллЕлизово7III
КлимовИванМоскваСУНЦIII
КовалевКонстантинМосква1597III
КотельниковЕгорМоскваСУНЦIII
МакарычевЕгорСаратовЛПНIII
МихеевНикитаМосква1060III
МорозовАнтонМосква57III
НасекинИванОмскл64III
НеретинаТатьянаМоскваСУНЦIII
ОстриковКонстантинМоскваСУНЦIII
ПавловКириллМоскваг1543III
ПодольскийАлександрМоскваЛ2ШIII
РакитинАлександрМосква1199III
СалахетдиновРусланМосква1543III
СмирновМихаилСаровл3III
СтасюкТарасМоскваСУНЦIII
СтрогановСергейОбнинскл-ФТШ-ОбнинскIII
СыртлановРустамМосква57III
ТлюстангеловИбрагимМайкопг22III
ЧежинСергейМосква57III
ЯнушковскийВладимирМоскваЛ2ШIII