Задачи устного тура тридцать пятого Турнира Городов

Устный тур XXXV Турнира городов прошел 10 марта 2014 г. в Москве в школе 179.

Условия задач

Условия задач доступны в формате pdf.



ТРИДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 10 марта 2014 г.


1. В множестве {1,2,3,…,2014} выбрали подмножество A. Оказалось, что никакой квадратный трехчлен, все три коэффициента которого принадлежат A, не имеет действительных корней. Какое наибольшее число элементов могло быть в A?

  Г. Жуков


2. Дан треугольник ABC. Луч, проведенный из вершины B через середину AC, пересекает внешнюю биссектрису угла A в точке P. Прямая PC пересекает прямую, содержащую внутреннюю биссектрису угла A, в точке Q. Докажите, что BA = BQ.

  Ф. Ивлев


3. Профессор Выбегалло написал 1001 статью. В каждой статье он может поставить ссылки на другие статьи, но никакие две статьи не должны ссылаться друг на друга. Выбегалло получит значимость k, если после этого у него будет k статей, на каждую из которых ссылаются хотя бы k статей. Какой наибольшей значимости он может добиться?

  И. Богданов, Е. Молчанов


4. В равногранном тетраэдре ABCD точки A′, B′, C′, D′ - центры вневписанных сфер. Докажите, что A, B, C, D - центры вневписанных сфер тетраэдра A′B′C′D′. (Тетраэдр называется равногранным, если его грани - равные треугольники. Вневписанная сфера - это сфера, которая касается одной из граней и продолжений остальных граней.)

  А. Заславский


5. В белом клетчатом прямоугольнике, стороны которого больше 10, в черный цвет покрасили K клеток. Далее за ход выбирают ряд (горизонтальный или вертикальный), в котором черных клеток хотя бы 10, и красят в черный цвет все белые клетки этого ряда. После нескольких таких ходов все клетки стали черными. Докажите, что K ≥ 100.

  П. Кожевников


6. Докажите, что не существует многочлена от двух переменных P(x,y), для которого множеством решений неравенства P(x,y) > 0 является квадрант {(x,y) : x > 0, y > 0}.

  Л. Стунжас



Победители и призёры устного тура XXXV Турнира городов


По итогам устного тура Жюри приняло решение наградить


Подробно

ФАМИЛИЯИМЯГОРОДШКОЛАДИПЛОМ
ВласоваНадеждаЯрославльшкола № 36I
ГаркавыйАндрейМосквашкола № 218I
Гущенко-ЧевердаИванМосквашкола № 57I
ЕршовСтаниславВоронежшкола № 1I
ЗерцаловАндрейМосквашкола № 218I
КороткихСергейМосквашкола № 57I
КочкинИванКировКФМЛI
НемиловМихаилСанкт-Петербурглицей № 533I
НовиковАлександрМоскваСУНЦ МГУI
ХисамовРавильМоскваСУНЦ МГУI
ЩелчковДмитрийМоскваСУНЦ МГУI
ЯгудинМихаилМоскваСУНЦ МГУI
ЯровиковЮрийКазаньлицей им. Лобачевского при КФУ I
АндреевАрсенийМосквагимназия № 1543I
БелосевичВсеволодМосквашкола № 57I
ВатузовАлександрМосквашкола № 179I
ДмитриевИлларионМосквашкола № 179I
ЗайцеваЮлияМосквашкола № 179I
КаргальцевСтепанМосквашкола № 218I
МерцаловАлександрМоскваСУНЦ МГУI
ЯкушкинВладимирВитебскгимназия № 8I
АгафоновИгорьСанкт-Петербурглицей № 533II
БугаковаНадеждаСанкт-ПетербургФМЛ 239II
ВасильевПётрМосквашкола № 54II
ГавриловАндрейЕлизовошкола № 2II
Годжаев Самир Барнаулгимназия № 123II
ДавтянАрамМосквагимназия № 1543II
ЖожикашвилиМарияМосквашкола № 57II
ЛукашевичДмитрийМоскваСУНЦ МГУII
МяктиновПавелТамбовлицей № 14II
ПетренкоИванКостромалицей № 17II
ПлетнёвНикитаОмскгимназия № 117II
ПособинГлебРостов-на-Донулицей №1 "Классический"II
РуденкоИринаХанты-МансийскЮгорский ФМЛII
СивкинВладимирМоскваСУНЦ МГУII
ТихоновскаяТатьянаСанкт-ПетербургФМЛ 239II
УрьевМаксимМосквашкола № 218II
ФазлиДжан МоазамМосквашкола № 57II
ЯрополовОлегКраснодарлицей № 4II
АбасовАртемМоскваСУНЦ МГУIII
БаландинКириллМосквашкола № 25III
БелашкинИванМоскваСУНЦ МГУIII
БоровковДанилаСанкт-Петербурглицей № 533III
БугаевСергейМосквашкола № 2007III
БыстровАлексейКостромалицей № 17III
ГорчаковТимофейМосквашкола № 57III
ГроссВикторияМоскваСУНЦ МГУIII
ДагаеваМарияМосквашкола № 57III
ДеркачДенисМосквашкола № 2007III
ДжунусовСергейМосквашкола № 179III
ДроздовАлександрСанкт-Петербурглицей № 533III
ЖурбенкоДмитрийМосквашкола № 25III
ИвановСергейМосквашкола № 179III
ИсхаковТимурМосквашкола № 218III
КасьяновИльяМосквашкола № 25III
КовяшевРоманКостромалицей № 32III
ЛебедевАлександрМосквашкола № 57III
ЛомовАртемМосквалицей № 1557III
МалышевАлександрМосквалицей "Вторая школа"III
МедведевГеоргийМосквашкола № 179III
МешикАлександрЕкатеринбурггимназия № 9III
МокрийЮрийМосквашкола № 179III
МосквинАлексейМоскваСУНЦ МГУIII
НазарчукАндрейВитебскгимназия № 8III
НовиковОлегМоскваСУНЦ МГУIII
ПережогинаМарияНовосибирскгимназия № 6III
ПетровСергейМоскваСУНЦ МГУIII
ПлиевНиколайМосквагимназия № 1514III
ПуховАлександрМосквашкола № 57III
РембовскаяАлександринаМосквашкола № 54III
РостиловДаниилНабережные Челныгимназия № 26III
СахаровДаниилМосквашкола № 57III
СиткаревАлександрМосквашкола № 179III
СоколовАртемийМосквашкола № 179III
СоловьевМихаилМосквашкола № 179III
СтрельцоваЕлизаветаМайкопшкола № 8III
УмаровРустамбекАлматыРСФМСШИIII
ФедотовСеменКраснодаршкола № 24III
ЦойАлександрТомскЛицей при ТПУIII
ЧулковДмитрийМайкопгимназия № 22III
ШавалиеваРалинаМоскваСУНЦ МГУIII
ЭпиктетовДенисМосквалицей № 1557III
ЯкушкинНиколайМосквашкола № 179III