Задачи устного тура тридцатого Турнира Городов

Устный тур XXX Турнира Городов прошел 10 мая 2009 г. в Москве в школе 179 в форме устной олим­пи­ады.

Условия задач

Условия задач дос­тупны также в формате pdf.



ТРИД­ЦА­ТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
11 класс, устный тур, 10 мая 2009 г.

1. На доске на­писа­ны числа 1, 2, …, 100. Раз­ре­ша­ет­ся стереть два числа и на­писать вместо них их сумму или их про­из­ве­дение. Какое на­иболь­шее число может ос­тать­ся на доске после 99 таких опе­раций?
(И. И. Бог­да­нов)


2. Хро­мая ладья обош­ла часть шах­матной дос­ки, на­чав свой путь на клет­ке d4. Из­вест­но, что ни на ка­кой клет­ке она не была дваж­ды, по­сети­ла все че­тыре угла дос­ки, при­чем на клет­ку a1 она по­пала с клет­ки a2, на клет­ку a8 она по­пала с клет­ки a7 и на клет­ку h8 она по­пала с клет­ки h7. С ка­кой клет­ки она по­пала на клет­ку h1?
(Хро­мая ладья хо­дит по вер­ти­кали и го­ризон­та­ли на 1 клет­ку).
(А. К. Толпыго)
Figure

3. Даны n цветов с но­мера­ми от 1 до n. Для каждого k от 1 до n пусть fk(n) обоз­на­ча­ет ко­личест­во спо­собов ок­ра­сить на­тураль­ные числа от 1 до n в первые k цветов (каждый из этих цветов должен при­сутс­тво­вать). До­кажи­те, что числа f1(n)+f3(n)+f5(n)+… и f2(n)+f4(n)+f6(n)+… от­ли­ча­ют­ся на 1.
(Раск­рас­ки, от­ли­ча­ющиеся пе­рес­та­нов­кой цветов, счи­та­ют­ся разными. Нап­ри­мер, f1(2)=1 и f2(2)=2.)
(М. А. Берш­тейн, Г. А. Мерзон)


4. Сфера ка­са­ет­ся всех ребер тет­ра­эд­ра ABCD кроме ребра CD. До­кажи­те, что су­щест­ву­ет сфера, которая ка­са­ет­ся всех ребер этого тет­ра­эд­ра кроме ребра AB.
(В. В. Про­из­во­лов)


5. Дан мно­гоч­лен P(x) с ра­ци­ональ­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми. Из­вест­но, что для каждого на­тураль­но­го n най­дет­ся такое на­тураль­ное k, что P([1/n])=[1/k]. До­кажи­те, что най­дут­ся такие числа c и m, что P(x)=c·xm.
(С.Спи­ридо­нов)


6. Двум ра­зум­ным му­равь­ям заранее объ­яви­ли, что их ночью высадят од­новре­мен­но в две вершины на­ходя­щего­ся в не­весо­мос­ти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­лепи­педа 1×1×2 м. Муравьи ползают только по ребрам, их мак­си­маль­ная ско­рость 1 м/мин. Могут ли они до­гово­рить­ся дей­ство­вать так, чтобы га­ран­ти­рован­но встре­тить­ся ранее чем через 9 минут после высадки? (Муравей знает, сколько он прополз.)
(А. В. Ша­пова­лов)



По­беди­тели устного тура XXX Турнира городов

По итогам очного тура Жюри приняло решение наг­ра­дить

АбрикосовЕфимАлексеевич57МоскваI
БуланкинаВераВалерьевнаСУНЦ МГУМоскваI
ДедовикЮлияАндреевнаСУНЦ МГУМоскваI
КондаковаЕлизаветаГригорьевна1525МоскваI
ОблаковаАннаИгоревна57МоскваI
ПогореловДмитрийАлександрович165Нижний НовгородI
ПоповПавелПавлович57МоскваI
РуховичФилиппДмитриевич57МоскваI
ТурбинаНатальяАлексеевнаИнтеллектуалМоскваI
ЦарьковОлегИгоревичВторая школаМоскваI
ЧеркашинДанилаДмитриевич533Санкт-ПетербургI
ЯговцевДмитрийОлегович57МоскваI
ЯнушевичЛеонидЮрьевичЦО Технологии обученияМоскваI
 
 
БорисовАлексейВикторович5ДолгопрудныйII
ГавричевГеоргийКонстантинович1525МоскваII
ЗаплетинАндрейМаксимович179МоскваII
ИльмаяровАлександраЭдуардовна1514МоскваII
КобаненкоГлебКонстантиновичВторая школаМоскваII
КосовЕгорДмитриевич54МоскваII
КуркотовОлегАлександрович26г. Набережные ЧелныII
ПискуновМаксимСергеевичСУНЦ МГУМоскваII
ЦойВалерияДмитриевнаСУНЦ МГУМоскваII
 
 
АлексеевИванСергеевич1543МоскваIII
АсавкинДмитрийПавлович57МоскваIII
ДлугачАлексейПетрович57МоскваIII
ДробышевскийМихаилДмитриевич192МоскваIII
ДурьевЭдуардСергеевич57МоскваIII
ЖижкоАртемийАндреевичСУНЦ МГУМоскваIII
ЗавалинМихаилЕвгеньевич57МоскваIII
ИвановНиколайИгоревич1199МоскваIII
КладовАлексейАлександровичСОШ 1СтавропольIII
КлеповаАннаАлександровнаСУНЦ МГУМоскваIII
КубракДмитрийВадимович179МоскваIII
КузнецовИванВладимировичСУНЦ МГУМоскваIII
ЛарионовВладиславВладимировичСУНЦ МГУМоскваIII
МельничукПавелВладимирович1543МоскваIII
ОвсовНикитаПавлович165Нижний НовгородIII
ПоликарповСергейМихайлович57МоскваIII
ПушкинДаниилЕвгеньевич1525МоскваIII
РадонецАлексейМихаиловичСУНЦ МГУМоскваIII
СадковаМарияСергеевна57МоскваIII
СемёновАлександрСергеевичБКШБелорецкIII
СлепухинВалентинМаксимовичСУНЦ УрГУЕкатеринбургIII
СмирноваДарьяМихайловна218МоскваIII
ТаранниковаЕкатеринаЮрьевна2007МоскваIII
ТолмановПётрАндреевич57МоскваIII
ФадеевАлексейВладимирович18г. НовочебоксарскIII
ХорюшинаНадеждаДмитриевнаСУНЦ МГУМоскваIII