В скобках после номера задачи или подпункта указано количество баллов, дававшихся за её правильное решение.
7-8 классы
Задача 1.(5)
Найти все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие
ровно 30 различных делителей.
М. Левин
Задача 2.(5)
В четырёхугольнике длины всех сторон и диагоналей меньше 1 м.
Доказать, что его можно поместить в круг радиуса 0,9 м.
Фольклор
Задача 3.(6)
Доказать, что в бесконечной последовательности целых
чисел, попарно различных и больших единицы, найдутся сто чисел,
которые больше своего номера в этой последовательности.
А. Анджанс, Рига
Задача 4.(8)
В стране больше 101 города. Столица соединена авиалиниями
со 100 городами, а каждый город, кроме столицы, соединен
авиалиниями ровно с десятью городами (если A соединен с B, то B
соединен с A). Известно, что из любого города можно попасть в
любой другой (может быть, с пересадками).
Доказать, что можно
закрыть половину авиалиний, идущих из столицы, так что
возможность попасть из любого города в любой сохранится.
Фольклор
Задача 5.(3+5)
Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ...
Существует ли арифметическая прогрессия
а)(3) длины 5;
б)(5) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности? (если решены оба пункта,
то решение оценивается в 5 очков).
Г. Гальперин, Москва
9-10 классы
Задача 1.
а)(4) Доказать, что для любых положительных чисел
x1, x2, ..., xk (k>3) выполняется неравенство:
( x1/(xk+x2) ) +
( x2/(x1+x3) ) +
... +
( xk/(xk-1+x1) )
> 2
б)(3) Доказать, что это неравенство ни для какого k>3 нельзя
усилить, т.е. доказать, что для каждого фиксированного k
нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы
полученное неравенство было справедливо для любого набора из k
положительных чисел.
А. Прокопьев
Задача 2.(14)
Квадрат разбит на K2 равных квадратиков. Про некоторую
ломаную известно, что она проходит через центры всех
квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное
число звеньев у этой ломаной?
А. Анджанс, Рига
Задача 3.(3)
Доказать, что в бесконечной
последовательности попарно различных
натуральных чисел, больших единицы, найдётся бесконечное
количество чисел, которые больше своего номера в этой
последовательности.
А. Анджанс, Рига
Задача 4.(8)
Многочлен P(x) со старшим коэффициентом,
равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им
при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2m
с натуральным m.
Докажите, что этот многочлен - первой степени.
Фольклор
Задача 5.
Рассматривается последовательность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ...
Существует ли арифметическая прогрессия
а)(2) длины 5;
б)(3) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
(решение обоих пунктов оценивается в 3 очка)
Г. Гальперин, Москва
