 |
XXIII Турнир городов
(решения)
Осенний тур, тренировочный вариант, 8 - 9 классы
Задача 1
Пусть O - точка пересечения боковых сторон трапеции. Обозначим
через L и L' точки пересечения прямых l и m со стороной CD.
Так как KC||AL, то треугольники OLA и OCK подобны, откуда
OL/OC = OA/OK; аналогично OL'/OD = OB/OK. Кроме того OB/OA = OC/OD,
то есть OB*OD = OA*OC. Значит OL = OA*OC/OK = OB*OD/OK = OL'.
Следовательно, точки L и L' совпадают, и прямые l и m пересекаются
на CD. Возможен вариант, когда прямые AB и CD не пересекаются,
то есть AB||CD. Тогда AK = CL, как противоположные стороны
параллелограмма, аналогично BK = L'D. Значит, AB = AK+KB = CL+L'D = CD,
следовательно, L=L'.
Задача 2
Введем обозначения: 1*2*3*...*n = n! .
Тогда у Славы получилось число n!, а у Валеры получилось число
2*4*6*...*(2m) = (2m)*m!. Значит, n>m, и мы можем разделить обе
части на m!. Получим: 2m = n*(n-1)*...*(m+1). Так как m>1, то
все множители в произведении справа больше единицы. Слева стоит
степень двойки, поэтому справа максимум один множитель (если их
хотя бы два, то хотя бы один из них нечетен и еще он больше
единицы, то есть не делит степень двойки и, как следствие,
равенство невозможно). Значит, 2m = m+1. Но это тоже неверно,
так как 2m > m+1 при m>1. Действительно, при любом k>1
справедливо неравенство 2*k >= k+2. Поэтому 2m = 2*(2m-1) >=
>= 2+2m-1 >= 2+2+2m-2 >= ... >= 2+2+...+2 (m раз) = 2*m > m+1
(при m>1). Значит, хотя бы один из мальчиков ошибся.
Задача 3
Удастся. Сначала Коля должен взвесить по 2 монеты. Рассмотрим
два случая.
1) Веса чашек равны. Тогда взвесим между собой монеты, лежащие на
одной чашке. Если их веса равны, то равны веса всех монет, то есть
среди них не может быть 2 фальшивых. Если их веса не равны, то
ровно одна из них фальшивая, а значит, всего ровно 2 фальшивых (так
как первый раз было равновесие).
2) Веса чашек не равны. Значит, фальшивых монет либо 1, либо 2
(причем в этом случае они обязаны лежать на одной чашке), либо 3.
Возьмем по монете с каждой чашки и переложим их (поменяем местами).
Если фальшивых монет 2, то обязано наступить равновесие. Значит,
если веса чашек не равны, то фальшивых не две. А если равны, то их
ровно 2, так как 1 или 3 быть не может.
Задача 4
Так как скорости всех шаров одинаковые, можно считать, что при
столкновении шары просто меняются местами, продолжая катиться
в ту же сторону. При этом столкновение шаров следует заменить
на их встречу. Таким образом, чтобы решить задачу, нам нужно
посчитать общее количество встреч. Так как каждый шар встречал
ровно 5 других шаров, то количество встреч равно числу 5*10,
деленному на 2, так как каждую встречу мы посчитали два раза.
Получаем ответ - 25 столкновений.
Задача 5
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с углами A, B и C,
равными 72, 36 и 72 градуса соответственно. Пусть AD - его
биссектриса. Рассмотрим точки A, B, C и D. При стирании точки A
получаем три точки на одной прямой, а при стирании одной из точек
B, C или D остаются равнобедренные треугольники ACD, ADB и ABC
соответственно. То есть, при выкидывании любой точки, оставшиеся
симметричны относительно какой-нибудь прямой (B, C, D симметричны
относительно прямой BC.
Докажем, что все четыре точки не имеют оси симметрии. Предположим
обратное и пусть l - ось симметрии точек A, B, C и D. Тогда по
принципу Дирихле какие-то две из точек B, C, D при симметрии
относительно прямой l останутся на прямой BC. Но тогда эта
симметрия переводит прямую BC в себя, а следовательно точку A
оставляет на месте. Значит, l - ось симметрии точек B, C и D,
проходящая через A. Как ось симметрии, l должна быть перпендикулярна
BC. Значит, l - высота в треугольнике ACD к стороне CD.
Тогда в нашем множестве нет точки, симметричной B. Противоречие.
Осенний тур, тренировочный вариант, 10 - 11 классы
Задача 1
Обозначим наш пятиугольник ABCDE. Рассмотрим треугольник ABD.
Поскольку длина медианы, опущенной из точки D, равна длине высоты,
то они совпадают, а значит треугольник равнобедренный (AD=BD).
Аналогично получим, что BE=CE и CA=DA. Треугольники ADB, BEC, CAD,
DBE, ECA равны, так как они равнобедренные с равными боковыми
сторонами и высотами, проведенными к основанию. Из равенства
треугольников следует равенство сторон AB=BC=CD=DE=EA и углов
ADB=BEC=CAD=DBE=ECA=a. Углы пятиугольника легко выражаются через a,
например ABC=ABD+CBE-DBE=180-2a. У пятиугольника равны все стороны
и все углы, значит он правильный.
Задача 2
Рассмотрим 1000 последовательных натуральных чисел, начиная с
некоторого N, и обозначим количество простых чисел среди них k(N).
Заметим, что k(N+1) отличается от k(N) не более чем на единицу
в ту или другую сторону. Но k(1)>5, а k(1001!+2)<5, поэтому при
изменении N от 1 до 1001!+2 значение k(N) при каком-нибудь N будет
равно 5.
Задача 3
Можно считать, что при встрече шарики не сталкиваются, а
пролетают насквозь, так как в результате в любом случае получатся
два шарика, движущихся в противоположных направлениях. Тогда каждый
из шариков, движущихся справа налево, пролетит насквозь 5 встречных
шариков. Всего получаем 5x5=25 столкновений.
Задача 4
Ответ: не всегда. Нарисуем торт на бумаге в виде квадрата
с вершинами в точках (0;0), (10;0), (0;10), (10;10). Расположим на
торте четыре одинаковые треугольные шоколадки ABC, DEF, GHI, JKL со
следующими координатами вершин: A(0;7), B(6;9), C(6;7), D(7;10),
E(9;4), F(7;4), G(10;3), H(4;1), I(4;3), J(3;0), K(1;6), L(3;6).
Тогда точка торта с координатами (5;5) не может принадлежать
никакому куску, так как из нее ни одна шоколадка не видна полностью
(из этой точки не видны вершины A, D, G, J).
Задача 5
В каждый момент ладьи стоят в вершинах прямоугольного треугольника
с катетами, параллельными краям доски. После хода ладья,
сделавшая ход, останется в той же полуплоскости относительно
прямой, проведенной через две другие ладьи (прыгать через ладью
нельзя), поэтому, поскольку ладьи a1, a2, b1 сперва стояли по
часовой стрелке (в вершинах образованного ими треугольника), то и
после каждого хода они будут стоять по часовой стрелке. Ну
а в "финальной" позиции ладьи должны "переориентироваться" (a1-->h8,
a2-->g8 и b1-->h7) и располагаться против часовой стрелки: h8, g8,
h7. Значит такую позицию получить невозможно.
|
Главная
