Main |
||
News |
||
Problems |
||
How can I participate? |
||
Как провести Турнир? |
||
Geography |
||
Летние конференции |
||
Результаты |
||
Ссылки |
||
Контакты |
||
|
|
||||||
Двадцать пятый Турнир Городов, 2003-2004
ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур. 8-9 кл., тренировочный вариант, 19 октября 2003 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы задачи 1. Каждая грань параллелепипедной коробки с ребрами 3 3, 4, 5 разделена на единичные квадратики. Можно ли вписать во все квадратики по числу так, чтобы сумма чисел в каждом клетчатом кольце ширины 1, опоясывающем коробку, равнялась 120? 2. В семиугольнике A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 диаго- 4 нали А_1 А_3, А_2 А_4, А_3 А_5, A_4 A_6, A_5 A_7, A_6 A_1 и A_7 A_2 равны между собой. Диагонали А_1 А_4, А_2 А_5, А_3 А_6, A_4 A_7, A_5 A_1, A_6 A_2 и A_7 A_3 тоже равны между собой. Обязательно ли этот семиугольник равносторонний? 3. У каждого целого числа от n+1 до 2n включительно 4 (где n - натуральное) возьмем наибольший нечетный делитель и сложим все эти делители. Докажите, что получится n^2. 4. N точек плоскости, никакие три из которых не лежат 4 на одной прямой, попарно соединили отрезками (каж- дую с каждой). Часть отрезков покрасили красным, остальные - синим. Красные отрезки образовали замкнутую несамопересекающуюся ломаную, и синие отрезки - тоже. Найдите все N, при которых это могло получиться. 5. На полоске 1*N на 25 левых полях стоят 25 шашек. 5 Шашка может ходить на соседнюю справа свободную клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шаш- ку на следующую за ней клетку (если эта клетка свободна), движение влево не разрешается. При ка- ком наименьшем N все шашки можно переставить под- ряд без пробелов в обратном порядке? ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур. 10-11 кл., тренировочный вариант, 19 октября 2003 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы задачи 1. У каждого целого числа от n+1 до 2n включительно 3 (где n - натуральное) возьмем наибольший нечетный делитель и сложим все эти делители. Докажите, что получится n^2. 2. Какое наименьшее количество квадратиков 1*1 надо 4 нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25*25, разделенного на 625 квадратиков 1*1? 3. У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей моне- 5 тами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, при- чем денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающу- юся сдачу. 4. На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены прямоугольные треугольники (во внешнюю сторону). Пусть A, B, C, D - вершины прямых углов, а O_1, O_2, O_3, O_4 - центры вписанных окружнос- тей этих треугольников. Докажите, что 3 а) площадь четырехугольника ABCD не превосходит 2; 3 б) площадь четырехугольника O_1 O_2 O_3 O_4 не превосходит 1. 5. Бумажный тетраэдр разрезали по ребрам так, что по- 6 лучилась плоская развертка. Могло ли случиться, что эту развертку нельзя расположить на плоскости без наложений (в один слой)? ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур. 8-9 кл., основной вариант, 26 октября 2003 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы задачи 1. Сто целых положительных чисел образуют возрастаю- 4 щую арифметическую прогрессию. Возможно ли, чтобы любые два из этих чисел были взаимно простыми? 2. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком 5 с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно женить всех брюнетов так, чтобы каждый из них же- нился на знакомой ему девушке!". Вторая сваха го- ворит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот ди- алог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!". Прав ли он? 3. Найдите все целые положительные числа k, для кото- 5 рых найдутся такие целые положительные числа m и n, что m(m+k)=n(n+1). 4. Какое наименьшее число клеток надо отметить на 6 доске 15*15 так, чтобы слон, поставленный на любую клетку доски, бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьет по двум диагоналям, на пересечении ко- торых он стоит; слон, поставленный на отмеченную клетку, бьет эту клетку.) 5. Дан квадрат ABCD, внутри которого лежит точка O. 7 Докажите, что сумма углов OAB, OBC, OCD и ODA от- личается от 180 градусов не больше, чем на 45 гра- дусов. 6. Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по 7 поверхности (но не внутри) которой ползает мура- вей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрения муравья, является длина кратчайшего пути между этими точками, проходящего по поверхности паралле- лепипеда.) 7. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4, 8 ... , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход со- cтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, вы- кладывает одну из своих карточек, а другой, по- смотрев на нее, выкладывает одну из своих карто- чек; тот, у кого число на карточке больше, записы- вает себе одно очко, а обе выложенные карточки вы- брасываются. Всего получается 1000 ходов (и одна карточка второго не используется). Какое наиболь- шее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)? ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур. 10-11 кл., основной вариант, 26 октября 2003 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы задачи 1. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком 4 с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем знаком. Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно женить всех брюнетов так, чтобы каждый из них же- нился на знакомой ему девушке!". Вторая сваха го- ворит: "А я могу устроить судьбу всех блондинок: каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот ди- алог услышал любитель математики, который сказал: "В таком случае можно сделать и то, и другое!". Прав ли он? 2. Докажите, что любое целое положительное число мож- 4 но представить в виде 3^{u_1}*2^{v_1}+3^{u_2}*2^{v_2}+ ... +3^{u_k}*2^{v_k}, где u_1 > u_2 > ... > u_k >= 0 и 0 <= v_1 < v_2 < ... < v_k - целые числа. 3. Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по 6 поверхности (но не внутри) которой ползает мура- вей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между точками, с точки зрения муравья, является длина кратчайшего пути между этими точками, проходящего по поверхности паралле- лепипеда.) 4. Дан треугольник ABC. В нем H - точка пересечения 7 высот, I - центр вписанной окружности, O - центр описанной окружности, K - точка касания вписанной окружности со стороной BC. Известно, что отрезки IO и BC параллельны. Докажите, что отрезки AO и HK параллельны. 5. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4, 7 ... , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... , 2001). Ходят по очереди, начинает первый. Ход со- cтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить, вы- кладывает одну из своих карточек, а другой, по- смотрев на нее, выкладывает одну из своих карто- чек; тот, у кого число на карточке больше, записы- вает себе одно очко, а обе выложенные карточки вы- брасываются. Всего получается 1000 ходов (и одна карточка второго не используется). Какое наиболь- шее число очков может гарантировать себе каждый из игроков (как бы ни играл его соперник)? 6. У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с об- 7 щим ребром AB) равна сумме площадей двух оставших- ся граней (с общим ребром CD). Докажите, что сере- дины ребер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причем эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD. 7 а) В таблице m*n расставлены знаки "+" и "-". За 3 один ход разрешается поменять знаки на противопо- ложные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2*2, который тоже не приводится. 6 б) В таблице m*n расставлены знаки "+" и "-". За один ход разрешается поменять знаки на противопо- ложные в любой строке или столбце или на любой ди- агонали (угловые клетки тоже считаются диагоналя- ми). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4*4, который тоже не приводится. ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур. 8-9 кл., тренировочный вариант, 22 февраля 2004 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы, задачи 1. В треугольнике ABC биссектрисса угла A, серединный 3 перпендикуляр к стороне AB и высота, опущенная из вершины B, пересекаются в одной точке. Докажите, что биссектрисса угла A, серединный перпендикуляр к сто- роне AC и высота, опущенная из вершины C, также пере- секаются в одной точке. 2. Найти все натуральные n, для которых найдутся n иду- 3 щих подряд натуральных чисел, сумма которых - простое число. 3. а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном - 3 л 3 сиропа, в другом - 20 л воды, третий - пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленно- го 30-процентного сиропа? 2 б) То же, но воды - N л. При каких целых N можно по- лучить 10 л разбавленного 30-процентного сиропа? 4. К натуральному числу a>1 приписали это же число и по- 5 лучили число b, делящееся на a^2. Найдите b/(a^2) (укажите все ответы и докажите, что других нет). (организаторам: a^2 означает а в квадрате) 5. Два десятизначных числа назовем соседними, если они 6 различаются только одной цифрой в каком-то из разря- дов. Например, числа 1234567890 и 1234507890 являются соседними. Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать, чтобы среди них не нашлись два соседних числа? ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур. 10-11 кл., тренировочный вариант, 22 февраля 2004 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы, задачи 1. Звенья AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и ка- 4 саются некоторой окружности с центром O. Докажите, что точка касания этой окружности со звеном BC, точка O и точка пересечения прямых AC и BD лежат на одной прямой. 2. К натуральному числу a>1 приписали это же число и по- 4 лучили число b, делящееся на a^2. Найдите b/(a^2) (укажите все ответы и докажите, что других нет). 3. Периметр выпуклого четырехугольника равен 2004, одна 4 из диагоналей равна 1001. Может ли вторая диагональ быть равна 1? Равна 2? Равна 1001? 4. Известно, что среди членов некоторой арифметической 5 прогресии a_1, a_2, a_3, a_4, ... есть числа (a_1)^2, (a_2)^2 и (a_3)^2. Докажите, что эта прогрессия со- стоит из целых чисел. (организаторам: (a_1)^2 означает а первое в квадрате) 5. Два десятизначных числа назовем соседними, если они 5 различаются только одной цифрой в каком-то из разря- дов. Например, числа 1234567890 и 1234507890 являются соседними. Какое наибольшее количество десятизначных чисел можно выписать, чтобы среди них не нашлись два соседних числа? ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур. 8-9 кл., основной вариант, 29 февраля 2004 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы задачи 1. Конечная арифметическая прогрессия состоит из целых 4 чисел, и ее сумма - степень двойки. Докажите, что количество членов прогрессии - тоже степень двойки. 2. Какое максимальное число шашек можно расставить на 5 доске 8*8 так, чтобы каждая была под боем? (Если клетки шахматной доски x, y, z стоят одна за другой подряд в диагональном направлении, шашка a стоит на клетке x, шашка b - на клетке y, и клетка z свобод- на, то шашка b под боем.) 3. Курс акций компании "Рога и копыта" повышается или 5 понижается каждый раз на n процентов, где n - фикси- рованное целое число, 0 < n < 100 (курс вычисляется с неограниченной точностью). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение? 4. Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая 6 касательная (та, которая ближе к точке B) касается окружностей в точках E и F. Прямая AB пересекает прямую EF в точке M. На продолжении AM за точку M выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично пересекает окружность, содержащую точку E, в точке C. Прямая KF вторично пересекает окружность, содер- жащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и A лежат на одной прямой. 5. Имеется биллиардный стол в виде многоугольника (не 6 обязательно выпуклого), у которого любые две сосед- ние стороны перпендикулярны друг другу. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шарик про- валивается. Из вершины A с внутренним углом 90 гра- дусов вылетает точечный шарик и движется внутри мно- гоугольника, отражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он ни- когда не вернется в вершину A. 6. Первоначально на доске написано число 2004! (то есть 7 1*2*3* ...*2004). Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-ни- будь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту раз- ность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих - начинающий, или его со- перник, - может гарантировать себе победу, и как ему следует играть? ДВАДЦАТЬ ПЯТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Весенний тур. 10-11 кл., основной вариант, 29 февраля 2004 г. (Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются) баллы задачи 1. Курс акций компании "Рога и копыта" повышается или 4 понижается каждый раз на n процентов, где n - фикси- рованное целое число, 0 < n < 100 (курс вычисляется с неограниченной точностью). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение? 2. Имеется биллиардный стол в виде многоугольника (не 6 обязательно выпуклого), у которого все углы состав- ляют целое число градусов, а угол A - в точности 1 градус. В вершинах находятся точечные лузы, попав в которые шарик проваливается. Из вершины A вылетает точечный шарик и движется внутри многоугольника, от- ражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернется в вершину A. 3. Проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость 6 имеет максимально возможную площадь. Докажите, что эта плоскость параллельна либо одной из граней пира- миды, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды. 4. Первоначально на доске написано число 2004! (то есть 6 1*2*3* ...*2004). Два игрока ходят по очереди. Игрок в свой ход вычитает из написанного числа какое-ни- будь натуральное число, которое делится не более чем на 20 различных простых чисел (так, чтобы разность была неотрицательна), записывает на доске эту раз- ность, а старое число стирает. Выигрывает тот, кто получит 0. Кто из играющих - начинающий, или его со- перник, - может гарантировать себе победу, и как ему следует играть? 5. На плоскости даны парабола y=x^2 и окружность, имею- 7 щие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что ка- сательные к окружности и параболе в точке A совпада- ют. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке B также совпадают? 6. Перед экстрасенсом кладут колоду из 36 карт рубашкой вверх. Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают, показывают ему и откладывают в сто- рону. После этого экстрасенс называют масть следую- щей карты, и т.д. Задача экстрасенса - угадать масть как можно большее число раз. На деле рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Колода подготовлена подкупленным служащим. Служащий знает порядок карт в колоде, и хотя изменить его не может, зато может подсказать, располагая рубашки карт так или иначе согласно договоренности. Может ли экстрасенс с по- мощью такой подсказки гарантированно обеспечить уга- дывание масти 3 a) более чем у половины карт? 5 б) не менее чем у 20 карт? |
|||||||
|