Двадцать четвертый Турнир Городов, 2002-2003

Решения некоторых задач 24-го Турнира Городов:

• осенний тур, основной вариант, 8 - 11 классы
  • в формате HTML

Задача 1.(4)
В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?
Р. Г. Женодаров

Задача 2.(5)
Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом - их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нём оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
Д. Кириенко

Задача 3.(1+2+2)
а)(1) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?
б)(2) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в её условии две трети на три четверти?
в)(2) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в её условии две трети на семь десятых?
А. Шень

Задача 4.(5)
На столе лежат 2002 карточки с числами 1, 2, 3,... , 2002. Двое играющих берут по одной карточке по очереди. После того, как будут взяты все карточки, выигравшим считается тот, у кого больше последняя цифра суммы чисел на взятых карточках. Выясните, кто из играющих может всегда выигрывать независимо от игры противника, и объясните, как он должен при этом играть.
М. А. Шаповалов

Задача 5.(5)
Дан некоторый угол и точка A внутри угла. Можно ли провести через точку A три прямые так, чтобы на каждой из сторон угла одна из точек пересечения этих прямых со стороной лежала посредине между двумя другими точками пересечения прямых с этой же стороной?
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
Саша и Маша загадали по натуральному числу и сказали их Васе. Вася написал на одном листе бумаги сумму загаданных чисел, а на другом -- их произведение, после чего один из листов спрятал, а другой (на нем оказалось написано число 2002) показал Саше и Маше. Увидев это число, Саша сказал, что не знает, какое число загадала Маша. Услышав это, Маша сказала, что не знает, какое число загадал Саша. Какое число загадала Маша?
Д. Кириенко

Задача 2.(1+1+2)
а)(1) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере две трети задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере две трети школьников. Известно также, что по крайней мере две трети школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере две трети задач контрольной. Могло ли такое быть?
б)(1) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на три четверти?
в)(2) Изменится ли ответ в этой задаче, если заменить везде в ее условии две трети на семь десятых?
А. Шень

Задача 3.(5)
Несколько прямых, никакие две из которых не параллельны, разрезают плоскость на части. Внутри одной из этих частей отметили точку A. Докажите, что точка, лежащая с A по разные стороны от всех данных прямых, существует тогда и только тогда, когда часть, содержащая A, неограничена.
А. А. Заславский

Задача 4.(5)
Пусть x, y, z - любые числа из интервала (0;Пи/2).
Докажите неравенство
(x*cos(x)+y*cos(y)+z*cos(z))/(x+y+z) <= (cos(x)+cos(y)+cos(z))/3.
В. Колосов

Задача 5.(5)
В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр. Докажите, что в этой последовательности найдется четное число.
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
В банке работают 2002 сотрудника. Все сотрудники пришли на юбилей, и их рассадили за один круглый стол. Известно, что зарплаты сидящих рядом различаются на 2 или 3 доллара. Какой наибольшей может быть разница двух зарплат сотрудников этого банка, если известно, что все зарплаты сотрудников различны?
Р. Г. Женодаров

Задача 2.(5)
Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?
А. В. Шаповалов

Задача 3.(6)
Вершины 50-угольника делят окружность на 50 дуг, длины которых - 1, 2, 3, ..., 50 в некотором порядке. Известно, что каждая пара "противоположных" дуг (соответствующих противоположным сторонам 50-угольника) отличается по длине на 25. Докажите, что у 50-угольника найдутся две параллельные стороны.
В. В. Произволов

Задача 4.(6)
Внутри треугольника ABC взята точка P так, что угол ABP равен углу ACP, а угол CBP равен углу CAP. Докажите, что P - точка пересечения высот треугольника ABC.
Р. Г. Женодаров

Задача 5.(7)
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в черный и белый цвета так, что любые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества черных треугольников.
Р. Г. Женодаров

Задача 6.(9)
Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до n. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна k*(n!), где k - целое число. Докажите, что карточки можно разложить на k групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась n!.
В. Доценко

Задача 7.(5)
а)(5) Электрическая схема имеет вид решетки 3x3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решетки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решетки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?
б)(5) Тот же вопрос для схемы, которая имеет вид решетки 5x5 (всего 36 узлов).
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
Все виды растений России были занумерованы подряд числами от 2 до 20000 (числа идут без пропусков и повторений). Для каждой пары видов растений запомнили наибольший общий делитель их номеров, а сами номера были забыты (в результате сбоя компьютера). Можно ли для каждого вида растений восстановить его номер?
А. В. Шаповалов

Задача 2.(6)
Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник. Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.
Г. А. Гальперин

Задача 3.(6)
Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в черный и белый цвета так, что любые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества черных треугольников.
Р. Г. Женодаров

Задача 4.(8)
Имеется много карточек, на каждой из которых записано натуральное число от 1 до n. Известно, что сумма чисел на всех карточках равна k*(n!), где k - целое число. Докажите, что карточки можно разложить на k групп так, чтобы в каждой группе сумма чисел, записанных на карточках, равнялась n!.
В. Доценко

Задача 5.(4+4)
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, вторично пересекающая первую и вторую окружности в точках K и M соответственно. Прямая PQ касается первой окружности в точке Q и параллельна прямой AM, а прямая PR касается второй окружности в точке R и параллельна прямой AK. Точки Q и R лежат по разные стороны от прямой KM. Докажите, что
а)(4) точка A принадлежит прямой QR;
б)(4) точка P принадлежит прямой KM.
В. Ю. Протасов

Задача 6.(8)
Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член - это наименьшее натуральное число, которое еще не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.
J. C. Lagarias, E. M. Rains, N. J. A. Sloane

Задача 7.(4+5)
а)(4) Электрическая схема имеет вид решетки 3x3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решетки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решетки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?
б)(5) Тот же вопрос для схемы, которая имеет вид решетки 7x7 (всего 64 узла).
А. В. Шаповалов

Задача 1.(4)
2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)

Задача 2. (4)
Двое играющих по очереди красят стороны n-угольника. Первый может покрасить сторону, которая граничит с 0 или 2 покрашенными сторонами, второй -- сторону, которая граничит с одной покрашенной стороной. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. При каких n второй может выиграть независимо от игры первого?

Задача 3. (4)
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что AK+LC=KL. Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.

Задача 4. (5)
В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры. Какое наибольшее количество подряд идущих чисел последовательности могли быть нечетными?

Задача 5. (5)
Можно ли замостить доску 2003x2003 доминошками 1x2, которые разрешается располагать только горизонтально, и прямоугольниками 1x3, которые разрешается располагать только вертикально? (Две стороны доски условно считаются горизонтальными, а две другие -- вертикальными.)

Задача 1. (3)
2003 доллара разложили по кошелькам, а кошельки разложили по карманам. Известно, что всего кошельков больше, чем долларов в любом кармане. Верно ли, что карманов больше, чем долларов в каком-нибудь кошельке? (Класть кошельки один в другой не разрешается.)

Задача 2. (3)
Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник. Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

Задача 3. (4)
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все 4 радиуса равны.

Задача 4. (5)
Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03,..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 -- не может). Какое наибольшее число номерков могли остаться на своих местах?

Задача 5. (5)
Дан картонный прямоугольник со сторонами a см и b см, где b/2 < a < b. Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых можно сложить квадрат.

Задача 1. (4)
Вася пишет на доске квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0 с целыми положительными коэффициентами a, b, c. После этого Петя, если хочет, может заменить один или два знака "+" на "-". Если у получившегося уравнения оба корня целые, то выигрывает Вася, если же корней нет или хотя бы один из них нецелый - Петя. Может ли Вася подобрать коэффициенты уравнения так, чтобы наверняка выиграть у Пети?

Задача 2. (4)
Дан треугольник ABC. В нем R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, a - длина наибольшей стороны, h - длина наименьшей высоты. Докажите, что R/r > a/h.

Задача 3. (4+3)
В турнире каждая из 15 команд сыграла с каждой другой ровно один раз.
а) (4) Докажите, что хотя бы в одной игре встретились команды, которые перед этой игрой участвовали в сумме в нечетном числе игр этого турнира.
б) (3) Могла ли такая игра быть единственной?

Задача 4. (7)
Есть шоколадка в форме правильного треугольника со стороной n, разделенная бороздками на маленькие равные треугольнички со стороной 1 (каждая сторона разделена на n равных частей, точки деления на каждой паре сторон соединены линиями, параллельными третьей стороне). Играют двое. За ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок (вдоль какой-нибудь бороздки), съесть его и передать остаток соседу. Тот, кто получит последний кусок - треугольничек со стороной 1, - победитель. Тот, кто не может сделать ход, досрочно проигрывает. Для каждого n выясните, кто из играющих (начинающий или его соперник) может играть так, чтобы всегда выигрывать (независимо от игры другого)?

Задача 5. (7)
Какое наибольшее число клеток доски 9*9 можно разрезать по обеим диагоналям, чтобы при этом доска не распалась на несколько частей?

Задача 6. (7)
Трапеция с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, E - точка пересечения ее диагоналей. Докажите, что угол AED не может быть острым.

Задача 1. (4)
Дана треугольная пирамида ABCD. В ней R - радиус описанной сферы, r - радиус вписанной сферы, a - длина наибольшего ребра, h - длина наименьшей высоты (на какую-то грань). Докажите, что R/r > a/h.

Задача 2. (5)
Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a_1, a_2, a_3, ... такова, что P(a_1)=0, P(a_2)=a_1, P(a_3)=a_2, и т.д.. Какую степень может иметь P(x)?

Задача 3. (5)
Можно ли поверхность куба оклеить без пропусков и наложений тремя треугольниками?

Задача 4. (6)
В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. Пусть K - середина дуги ВС, не содержащей точки А; N - середина отрезка АС; М - точка пересечения луча KN с окружностью. В точках А и С проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке Е. Докажите, что угол EMK прямой.

Задача 5. (6)
Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число d, большее 1. Если борино число делится на d, то Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа d, и игра продолжается. Называть числа, уже названные ранее, Кире запрещается. Когда борино число станет отрицательным, Кира проигрывает. Mожет ли Кира действовать так, чтобы наверняка выиграть у Бори?

Задача 6. (7)
В каждой клетке таблицы размером 4*4 стоит знак "+" или "-". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

Задача 7. (8)
Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведенных из нее отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались четными?