0
  

Двадцатый второй Турнир, 2000-2001


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
8-9 кл., тренировочный вариант 22 октября 2000 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, очки за пункты одной задачи суммируются)
Задача 1.(3)
В клетках таблицы 4*4 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.
Р. Г. Женодаров

Задача 2.(3)
Дано: ABCD - параллелограмм, M - середина стороны CD, H - основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на прямую AM. Докажите, что треугольник BCH - равнобедренный.
М. А. Волчкевич

Задача 3.(2+4)
а)(2) На доске выписано 100 различных чисел. Докажите, что среди них можно выбрать 8 чисел так, чтобы их среднее арифметическое не представлялось в виде среднего арифметического никаких 9 из выписанных на доске чисел.
б)(4) На доске выписано 100 целых чисел. Известно, что для любых восьми из этих чисел найдутся такие девять из этих чисел, что среднее арифметическое этих восьми чисел равно среднему арифметическому этих девяти чисел. Докажите, что все числа равны.
А. В. Шаповалов

Задача 4.(5)
Известно, что в наборе из 32 одинаковых по виду монет есть две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу друг другу, и фальшивые монеты также равны по весу друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более 4 взвешиваний на чашечных весах без гирь?
А. В. Шаповалов


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
10-11 кл., тренировочный вариант 22 октября 2000 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, очки за пункты одной задачи суммируются)
Задача 1.(3)
Треугольник ABC вписан в окружность. Через точку A проведены хорды, пересекающие сторону BC в точках K и L и дугу BC в точках M и N. Докажите, что если вокруг четырехугольника KLNM можно описать окружность, то треугольник ABC - равнобедренный.
В. С. Жгун

Задача 2.(3)
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ad - bc > 1. Докажите, что хотя бы одно из чисел a, b, c, d не делится на ad - bc.
А. В. Спивак

Задача 3.(4)
В каждой боковой грани пятиугольной призмы есть угол f (среди углов этой грани). Найдите все возможные значения f.
А. В. Шаповалов

Задача 4.(3+2)
Известно, что в наборе из
а)(3) 32
б)(2) 22 одинаковых по виду монет есть две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу друг другу, и фальшивые монеты также равны по весу друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более 4 взвешиваний на чашечных весах без гирь?
А. В. Шаповалов


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
8-9 кл., основной вариант 29 октября 2000 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты)
Задача 1.(3)
Дана таблица n*n, в каждой клетке записано число, причем все числа в таблице различны. В каждой строке отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных столбцах. Затем в каждом столбце отметили наименьшее число, и все отмеченные числа оказались в разных строках. Докажите, что оба раза отметили одни и те же числа.
В. А. Клепцын

Задача 2.(3)
Между двумя параллельными прямыми расположили окружность радиуса 1, касающуюся обеих прямых, и равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной из прямых, а вершина - на другой. Известно, что треугольник и окружность имеют ровно одну общую точку, и что эта точка лежит на вписанной окружности треугольника. Найдите радиус вписанной окружности треугольника.
Р. К. Гордин

Задача 3.(4)
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a+b+c+d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
В. А. Сендеров

Задача 4.(4)
Рассматривается шахматная доска 8*8, клетки которой пока не окрашены. Сколькими способами можно раскрасить доску в черный и белый цвета так, чтобы черных клеток было 31 и никакие две черные клетки не имели общей стороны? (Укажите число способов и докажите, что учтены все способы; два способа раскраски считаются различными, если найдется клетка, которая при одном из этих способах раскраски белая, а при другом - черная).
Р. Г. Женодаров

Задача 5.(6)
На правой чаше чашечных весов лежит груз 11111 г. Весовщик последовательно раскладывает по чашам гири, первая из которых имеет массу 1 г, а каждая последующая вдвое тяжелее предыдущей. В какой-то момент весы оказались в равновесии. На какую чашу поставлена гиря 16 г?
А. В. Калинин

Задача 6.(7)
В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено 6 задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все 6 задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре? (Назовите это число, покажите, что при названном Вами числе участников условие задачи может быть выполнено, и что при меньшем числе участников оно не выполнимо.)
Р. Г. Женодаров

Задача 7.(8)
У первоклассника имеется сто карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 100, а также большой запас знаков "+" и "=". Какое наибольшее число верных равенств он может составить? (Каждая карточка используется не более одного раза, в каждом равенстве может быть только один знак "=", переворачивать карточки и прикладывать их для получения новых чисел нельзя.)
Р. Г. Женодаров


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
10-11 кл., основной вариант 29 октября 2000 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, очки за пункты одной задачи суммируются)
Задача 1.(3)
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно a+b+c+d. Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
В. А. Сендеров

Задача 2.(4)
Для какого наибольшего n можно выбрать на поверхности куба n точек так, чтобы не все они лежали в одной грани куба и при этом были вершинами правильного (плоского) n-угольника.
А. В. Шаповалов

Задача 3.(4)
Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c (AB=c, BC=a, CA=b и a<b<c). На лучах BC и AC отмечены соответственно точки B1 и A1 такие, что BB1=AA1=c. На лучах CA и BA отмечены соответственно точки C2 и B2 такие, что CC2=BB2=a. Найти отношение отрезка A1B1 к отрезку C2B2.
Р. Г. Женодаров

Задача 4.(3+4)
Пусть целые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство

                                1
                a1 + ----------------------- = x
                                  1
                     a2 + ------------------

                          a3 + ...      1
                                    ---------
                                           1
                                     an + ---
                                           x

выполнено при всех значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
а)(3) Докажите, что число n четно.
б)(4) При каком наименьшем n такие числа существуют?
М. Б. Скопенков

Задача 5.(6)
Клетки доски m*n покрашены в два цвета. Известно, что на какую бы клетку ни поставить ладью, она будет бить больше клеток не того цвета, на котором стоит (клетка под ладьей тоже считает- ся побитой). Докажите, что на каждой вертикали и каждой горизон- тали клеток обоих цветов поровну.
А. В. Шаповалов

Задача 5.(5+5+5)
а)(5) Несколько черных квадратов со стороной 1 см прибиты к белой плоскости одним гвоздем толщины 0.1 см. Образовалась многоугольная черная фигура. Может ли периметр этой фигуры быть больше, чем 1 км ? (Гвоздь не задевает границ квадратов.)
б)(5) Та же задача, но гвоздь имеет толщину 0 (то есть точка).
в)(5) Несколько черных квадратов со стороной 1 лежат на белой плоскости, образуя многоугольную черную фигуру (возможно, состоящую из нескольких кусков и имеющую дырки). Может ли отношение периметра этой фигуры к ее площади быть больше 100000 ?
Венгерский фольклор


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
8-9 классы, тренировочный вариант, 25 февраля 2001 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
Задача 1.(3) Натуральное число n разрешается заменить на число ab, если a+b=n и числа a и b натуральные.
Можно ли с помощью таких замен получить из числа 22 число 2001?
В. А. Клепцын

Задача 2.(4) В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан.
Докажите, что этот треугольник тупоугольный.
А. В. Шаповалов

Задача 3.(4)
В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу.
Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит еще ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей? (Средний вес покупки - это общий вес проданного сыра, деленный на число купивших.)
И. Г. Рыбников

Задача 4.(2+3)
а)(2) На столе лежат 5 одинаковых бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении не поворачивая. Верно ли, что всегда любой из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими?
б)(3) На столе лежат 5 одинаковых равносторонних бумажных треугольников. Каждый разрешается сдвигать в любом направлении не поворачивая. Докажите, что любой из этих треугольников можно накрыть четырьмя другими.
А. В. Шаповалов

Задача 5.(5)
На доске размером 15*15 клеток расставили 15 ладей, не бьющих друг друга. Затем каждую ладью передвинули ходом коня.
Докажите, что теперь какие-то 2 ладьи будут бить друг друга.
С. Л. Берлов


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
10-11 кл., тренировочный вариант 25 февраля 2001 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты)
Задача 1.(3)
Автобус, едущий по маршруту длиной 100 км, снабжен компьютером, показывающим прогноз времени, остающегося до прибытия в конечный пункт. Это время рассчитывается исходя из предположения, что средняя скорость автобуса на оставшемся участке маршрута будет такой же, как и на уже пройденной его части. Спустя 40 минут после начала движения ожидаемое время до прибытия составляло 1 час и оставалось таким же еще в течение пяти часов.
Могло ли такое быть? Если да, то сколько километров проехал автобус к окончанию этих пяти часов? (Средняя скорость автобуса на участке маршрута - это длина участка, деленная на время, за которое этот участок пройден.)
И. Г. Рыбников

Задача 2.(4)
Десятичная запись натурального числа a состоит из n цифр, а десятичная запись числа a3 состоит из m цифр.
Может ли n+m равняться 2001?
Г. А. Гальперин

Задача 3.(4)
В треугольнике ABC точка X лежит на стороне AB, а точка Y - на стороне BC. Отрезки AY и CX пересекаются в точке Z. Известно, что AY=YC и AB=ZC.
Докажите, что точки B, X, Z и Y лежат на одной окружности.
Р. Г. Женодаров

Задача 4.(5) Двое играют на доске 3*100 клеток: кладут по очереди на свободные клетки доминошки 1*2. Первый игрок кладет доминошки, направленные вдоль доски, второй - в поперечном направлении. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кто из играющих может обеспечить себе победу (как бы ни играл его противник), и как ему следует играть?
В. В. Трушков

Задача 5.(5)
На поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 см отмечены 9 точек.
Докажите, что среди этих точек найдутся две, расстояние между которыми (в пространстве) не превосходит 0,5 см.
В. В. Произволов


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур.
8-9 кл., основной вариант 4 марта 2001 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)
Задача 1.(3)
В некоторой стране есть 10 процентов работников, чья зарплата составляет 90 процентов всей зарплаты, выплачиваемой в этой стране.
Может ли так быть, что в каждом из регионов, на которые делится эта страна, зарплата любых 10 процентов работников составляет не более 11 процентов от всей зарплаты, выплачиваемой в этом регионе?
М. Н. Вялый

Задача 2.(5)
Есть три кучки камней: в первой 51 камень, во второй - 49, а в третьей - 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку, состоящую из четного количества камней, на две равные.
Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?
В. А. Клепцын

Задача 3.(5)
Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол" падения" равен "углу отражения"). Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника BCM, лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)
А. А. Заславский, И. Ф. Шарыгин

Задача 4.(5)
На доске нарисовали выпуклый многоугольник. В нем провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри него, так что он оказался разбит на треугольники. Затем возле каждой вершины записали число треугольников, примыкающих к этой вершине, после чего все диагонали стерли. Можно ли по оставшимся возле вершин числам восстановить стертые диагонали?
С. А. Зайцев

Задача 5.(3+4)
а)(3) На две клетки шахматной доски выставляются черная и белая фишки. Разрешается по очереди передвигать их, каждым ходом сдвигая очередную фишку на любое свободное соседнее поле по вертикали или горизонтали.
Могут ли на доске в результате таких ходов встретиться все возможные позиции расположения этих двух фишек, причем ровно по одному разу?
б)(4) А если разрешается сдвигать фишки в любом порядке (не обязательно по очереди)?
А. В. Шаповалов

Задача 6.(7)
Высоты треугольника ABC - AHA, BHB, CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах (точках пересечения высот) треугольников AHBHC, BHAHC, CHAHB равен треугольнику HAHBHC.
А. В. Акопян

Задача 7.(2+3+3)
Леша задумал двузначное число (от 10 до 99). Гриша пытается его отгадать, называя двузначные числа. Если Гриша правильно называет число, или же одну цифру называет правильно, а в другой ошибается не более чем на единицу, то Леша отвечает "тепло"; в остальных случаях Леша отвечает "холодно". (Например, если задумано число 65, то назвав 65, 64, 66, 55 или 75, Гриша услышит в ответ "тепло", а в остальных случаях услышит "холодно".)
а)(2) Покажите, что нет способа, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 18 попыток.
б)(3) Придумайте способ, при котором Гриша гарантированно узнает число, истратив 24 попытки (какое бы число ни задумал Леша).
в)(3) А за 22 попытки получится?
Фольклор (коллектив авторов)


ДВАДЦАТЬ ВТОРОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур.
10-11 кл., основной вариант 4 марта 2001 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются)

Задача 1.(3)
Найдите хотя бы один такой многочлен P(x) степени 2001, что при всех x выполнено равенство P(x)+P(1-x)=1.
Фольклор

Задача 2.(5)
При подведении итогов учебного года выяснилось, что в любой группе из не менее чем 5 учеников 80 процентов двоек, полученных этими учениками в течение года, поставлены не более чем 20 процентам учеников из этой группы.
Докажите, что по крайней мере три четверти всех двоек получил один ученик.
М. Н. Вялый

Задача 3.(5)
Высоты треугольника ABC - AHA, BHB, CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах (точках пересечения высот) треугольников AHBHC, BHAHC, CHAHB равен треугольнику HAHBHC.
А. В. Акопян

Задача 4.(5)
Даны две таблицы A и B, в каждой m строк и n столбцов. В каждой клетке каждой таблицы записано одно из чисел 0 или 1, причем в строках таблиц числа не убывают (при движении по строке слева направо), и в столбцах таблиц числа не убывают (при движении по столбцу сверху вниз). Известно, что при любом k от 1 до m сумма чисел в верхних k строках таблицы A не меньше суммы чисел в верхних k строках таблицы B. Известно также, что всего в таблице A столько же единиц, сколько в таблице B.
Докажите, что при любом l от 1 до n сумма чисел в левых l столбцах таблицы A не больше суммы чисел в левых l столбцах таблицы B.
А. Я. Канель-Белов

Задача 5.(4+4)
Участники шахматного турнира сыграли друг с другом по одной партии. Для каждого участника было подсчитано число набранных им очков (за победу 1 очко, за ничью 1/2 очка, за поражение 0 очков).
а)(4) Может ли у каждого участника сумма очков тех, у кого он выиграл, быть больше суммы очков тех, кому он проиграл?
б)(4) Может ли у каждого участника сумма очков тех, у кого он выиграл, быть меньше суммы очков тех, кому он проиграл?
А. К. Толпыго

Задача 6.(8)
Докажите, что найдутся такие 2001 выпуклых многогранников в пространстве, что никакие три из них не имеют общих точек, а любые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).
А. Я. Канель-Белов

Задача 7.(4+4)
По кругу расставлено несколько коробочек. В каждой из них может лежать один или несколько шариков (или она может быть пустой). Ход состоит в том, что из какой-то коробочки берутся все шарики и раскладываются по одному, двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коробочки.
а)(4) Пусть на каждом следующем ходу разрешается брать шарики из той коробочки, в которую был положен последний шарик на предыдущем ходу. Докажите, что в какой-то момент повторится начальное расположение шариков.
б)(4) Пусть теперь на каждом ходу разрешается брать шарики из любой коробочки. Верно ли, что за несколько ходов из любого начального расположения шариков по коробочкам можно получить любое другое?
В. М. Гуровиц


Дизайн сайта
интернет агентство "MindBridge Group"