Двадцатый Турнир, 1998-1999

Ниже представлены условия задач, можно также посмотреть решения осеннего тура.

Задача 1.(3)
Куб со стороной 20 разбит на 8000 единичных кубиков, и в каждом кубике записано число. Известно, что в каждом столбике из 20 кубиков, параллельном ребру куба, сумма чисел равна 1 (рассматриваются столбики всех трех направлений). В некотором кубике записано число 10. Через этот кубик проходит три слоя 1*20*20, параллельных граням куба. Найдите сумму всех чисел вне этих слоев.

Задача 2.(3)
Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9).
Докажите, что третья справа цифра - четная.

Задача 3.(4)
В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат внутри сторон BC, CA и AB соответственно. Известно, что угол AC'B' = углу B'A'C, угол CB'A' = углу A'C'B, угол BA'C' = углу C'B'A.
Докажите, что точки A', B', C' - середины сторон.

Задача 4.(4)
12 кандидатов в мэры рассказывали о себе. Через некоторое время один сказал: "До меня соврали один раз". Другой сказал: "А теперь - дважды". "А теперь - трижды" - сказал третий, и так далее до 12-го, который сказал: "А теперь соврали 12 раз". Тут ведущий прервал дискуссию. Оказалось, что по крайней мере один кандидат правильно посчитал, сколько раз соврали до него. Так сколько же раз всего соврали кандидаты?

Задача 5.(5)
Назовем крокодилом шахматную фигуру, ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении.
Докажите что для любых m и n можно так раскрасить бесконечную клетчатую доску в 2 цвета (для каждых конкретных m и n своя раскраска), что всегда 2 клетки, соединенные одним ходом крокодила, будут покрашены в разные цвета.

Задача 1.(3)
a и b - натуральные числа.
Докажите, что если НОК(a,a+5)=HOK(b,b+5), то a=b.

Задача 2.(4)
У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8x8, разбитому на клетки 1x1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет.
Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2х1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8х8 с одной и той же синей картинкой.

Задача 3.(5)
Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причем все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B - касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырехугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Задача 4.(6)
В правильном 25-угольнике проведены все диагонали. Докажите, что нет девяти диагоналей, проходящих через одну внутреннюю точку 25-угольника.

Задача 5.(7)
Имеется 20 бусинок 10-ти цветов, по две бусинки каждого цвета. Их как-то разложили в 10 коробок. Известно, что можно выбрать по бусинке из каждой коробки так, что все цвета будут представлены. Докажите, что число способов такого выбора есть ненулевая степень двойки.

Задача 6.(7)
Шайка разбойников отобрала у купца мешок монет. Каждая монета стоит целое число грошей. Оказалось, что какую бы монету ни отложить, оставшиеся монеты можно разделить между разбойниками так, чтобы каждый получил одинаковую сумму в грошах.
Докажите, что если отложить одну монету, то число монет разделится на число разбойников.

Задача 1.(3)
Имеется 19 гирек весом 1г, 2г, 3г, ... , 19 г. Девять из них - железные, девять - бронзовые и одна - золотая. Известно, что общий вес всех железных гирек на 90 г больше, чем общий вес бронзовых.
Найдите вес золотой гирьки.

Задача 2.(3)
n бумажных кругов радиуса 1 уложены на плоскость таким образом, что их границы проходят через одну точку, причем эта точка находится внутри всей области плоскости, покрытой кругами. Эта область представляет собой многоугольник с криволинейными сторонами.
Найдите его периметр.

Задача 3.(4)
На шахматной доске размером 8*8 отметили 17 клеток.
Докажите, что из них можно выбрать две так, что коню нужно не менее трех ходов для попадания с одной из них на другую.

Задача 4.(4)
Рассматриваются такие наборы действительных чисел {x₁, x₂, x₃, ... x₂₀}, заключенных между 0 и 1, что
x₁*x₂*x₃*...*x₂₀ = (1-x₁)*(1-x₂)*(1-x₃)*...*(1-x₂₀).
Найдите среди этих наборов такой набор, для которого значение
x₁*x₂*x₃*...*x₂₀ максимально.

Задача 5.(1+3+2)
Группа психологов разработала тест, пройдя который, каждый человек получает оценку - число Q - показатель его умственных способностей (чем больше Q, тем больше способности). За рейтинг страны принимается среднее арифметическое значений Q всех жителей этой страны.
а).(1) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б.
Покажите, что при этом у обеих стран мог вырасти рейтинг.
б).(3) После этого группа граждан страны Б (в числе которых могут быть и бывшие эмигранты из А) эмигрировала в страну А.
Возможно ли, что рейтинги обеих стран опять выросли?
в).(2) Группа граждан страны А эмигрировала в страну Б, а группа граждан Б - в страну В. В результате этого рейтинги каждой страны оказались выше первоначальных. После этого направление миграционных потоков изменилось на противоположное - часть жителей В переехала в Б, а часть жителей Б - в А. Оказалось, что в результате рейтинги всех трех стран опять выросли (по сравнению с теми, которые были после первого переезда, но до начала второго). (Так, во всяком случае, утверждают информационные агентства этих стран.)
Может ли такое быть (если да, то как, если нет, то почему)?
(Предполагается, что за рассматриваемое время Q граждан не изменилось, никто не умер и не родился).

Задача 1.(2+3)

а)(2) Докажите, что если НОК(a,a+5)=HOK(b,b+5) (a,b - натуральные), то a=b.
б)(3) Может ли НОК(a,b)=НОК(а+с,b+с) (a,b,c - натуральные)?

Задача 2.(4)
Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причем все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B - касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырехугольник, содержащий внутри себя обе окружности.
Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

Задача 3.(5)
В таблицу записано девять чисел:

Задача 4.(6)
За круглым столом были приготовлены 12 мест для жюри с указанием имени на каждом месте. Николай Николаевич, пришедший первым, по рассеянности сел не на свое, а на следующее по часовой стрелке место. Каждый член жюри, подходивший к столу после этого, занимал свое место или, если оно уже было занято, шел вокруг стола по часовой стрелке и садился на первое свободное место. Возникшее расположение членов жюри зависит от того, в каком порядке они подходили к столу.
Сколько может возникнуть различных способов рассадки жюри?

Задача 5.(7) ("Багаж в Московском метрополитене")
Будем называть "размером" прямоугольного параллелепипеда сумму трех его измерений - длины, ширины и высоты.
Может ли случиться, что в некотором прямоугольном параллелепипеде поместился больший по размеру прямоугольный параллелепипед?

Задача 6.(8)
Дана функция f(x) = (x² + a*x + b)/(x² + c*x + d), где трехчлены x² + a*x + b и x² + c*x + d не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдется числовой интервал, свободный от значений функции;
2) f(x) представима в виде: f(x)=f₁(f₂(...f_n-1(f_n(x))...)), где каждая из функций f_i(x) есть функция одного из видов: k_i*x+b_i, x^-1, x².

Задача 1.(3)
Отец и сын катаются на коньках по кругу. Время от времени отец обгоняет сына. После того, как сын переменил направление своего движения на противоположное, они стали встречаться в 5 раз чаще.
Во сколько раз отец бегает быстрее сына?

Задача 2.(4)
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Дано: AC = 1 см и BC = 3 см.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C ?

Задача 3.(4)
На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ - сколько всего чисел на первой доске, b₁ - сколько там чисел, больших единицы, b₂ - сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом закончиваем - нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски.
Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Задача 4.(5)
На плоскости нарисован черный равносторонний треугольник. Имеется девять треугольных плиток того же размера и той же формы. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного треугольника (хотя бы одну точку внутри него).
Как это сделать?

Задача 5.(5)
Квадрат разрезали 18 прямыми, из которых 9 параллельны одной стороне квадрата, а 9 - другой, на 100 прямоугольников. Оказалось, что ровно девять из них - квад раты.
Докажите, что среди этих квадратов найдутся два равных между собой.

Задача 1.(3)
В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних.
Найдите последнее число.

Задача 2.(3)
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат ABDE. Дано: AC = 1 см и BC = 3 см.
В каком отношении делит сторону DE биссектриса угла C?

Задача 3.(3)
На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ - сколько всего чисел на первой доске, b₁ - сколько там чисел, больших единицы, b₂ - сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом закончиваем - нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски.
Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

Задача 4.(5)
На плоскости нарисован черный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть черного квадрата (хотя бы одну точку внутри него).
Как это сделать?

Задача 5.(5)
Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9*9. Играют двое, ходят по очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер - нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов, - число K, и количество строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков - число Н (всего строк и столбцов - 18). Разность В = К - Н считается выигрышем игрока, который начинает.
Найдите такое значение B, что
1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл второй игрок;
2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не больше B, как бы тот ни играл.

Задача 1.(3)
В банке 500 долларов. Разрешаются две операции: взять из банка 300 долларов или положить в него 198 долларов. Эти операции можно проводить много раз, при этом, однако, никаких денег, кроме тех, что первоначально лежат в банке, нет.
Какую максимальную сумму можно извлечь из банка и как это сделать?

Задача 2.(4)
O - точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Докажите, что если окружность, проходящая через точки A, B и O, касается прямой BC, то окружность, проходящая через точки B, C и O, касается прямой CD.

Задача 3.(4)
Играют двое. Первый выписывает в строку слева направо цифры, произвольно чередуя 0 и 1, пока всех цифр не станет всего 1999. Каждый раз после того, как первый выписал очередную цифру, второй меняет между собой две цифры из уже написанного ряда (когда написана только одна цифра, второй пропускает ход).
Всегда ли второй может добиться того, чтобы после его последнего хода расположение цифр было симметричным относительно средней цифры?

Задача 4.(6)
2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки.
Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Задача 5.(6)
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. RS - средняя линия, параллельная AB, T - точка пресечения прямых PQ и RS.
Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Задача 6.(9)
Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8*8 и вернулась на исходное поле.
Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Задача 1.(4)
В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.
Может ли случиться, что 90% его объема находится ниже уровня воды, и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

Задача 2.(4)
ABCD - выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность с центром в точке O. Окружности, описанные вокруг треугольников ABO и CDO, пересеклись второй раз в точке F.
Докажите, что окружность, проходящая через точки A, F и D, проходит через точку пересечения отрезков AC и BD.

Задача 3.(5)
Найдите все пары целых чисел (x,y), для которых выполняется условие: числа x³+y и x+y³ делятся на x²+y².

Задача 4.(5)
2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки.
Докажите, что найдется полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

Задача 5.(2+5)
Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи четно, то M(i) = 0, а если нечетно - то 1 (первые члены этой последовательности: 0,1,1,0,1,0,0,1, ... ).
а)(2) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000).
Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
б)(5) Рассмотрим конечную последовательность M(0), M(1), ... , M(1000000).
Докажите, что число таких членов последовательности, что M(i) = M(i+7), не меньше 450000.

Задача 6.(8)
Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8*8 и вернулась на исходное поле.
Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.