Тридцать четвертый Турнир Городов,

Доступны условия в формате pdf.


Доступны решения устного тура, а также результаты по Москве.



ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, базовый вариант, 7 октября 2012 г.
(Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)
баллызадачи
      
1.Про группу из пяти человек известно, что
      
       Алеша на 1 год старше Алексеева,
       Боря на 2 года старше Борисова,
       Вася на 3 года старше Васильева,
       Гриша на 4 года старше Григорьева,
       а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.
      
Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?
      
Е. Бакаев
4      
2.Пусть C(n) - количество различных простых делителей числа n. (Например, C(10)=2, C(11)=1, C(12)=2.) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (a,b), что a ≠ b и C(a+b)=C(a)+C(b)?
      
Г. К. Жуков
5      
3.Таблица 10×10 заполняется по правилам игры <<Сапёр>>: в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все <<старые>> мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?
      
А. Ю. Эвнин
5      
4.Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно. Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.
      
П. А. Кожевников
5      
5.В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса. Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников этого класса принял участие по меньшей мере в 1/20 всех экскурсий.
      
Н. К. Верещагин


ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 - 11 классы, базовый вариант, 7 октября 2012 г.
(Итог подводится по трём задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы за пункты одной задачи суммируются.)
баллызадачи
4      
1.Таблица m×n заполняется по правилам игры <<Сапёр>>: в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все <<старые>> мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?
      
А. Ю. Эвнин
      
2.Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
2      
а)равные многоугольники;
3      
б)правильные многоугольники?
      
Г. А. Гальперин
5      
3.В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса. Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников этого класса принял участие по меньшей мере в 1/17 всех экскурсий.
      
Н. К. Верещагин
      
4.Пусть C(n) - количество различных простых делителей числа n.
2      
а)Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (a,b), что a ≠ b и C(a+b)=C(a)+C(b)?
3      
б)А если при этом дополнительно требуется, чтобы C(a+b) > 1000?
      
Г. К. Жуков
5      
5.Из 239 неотличимых на вид монет две - одинаковые фальшивые, а остальные - одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее - фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.
      
К. А. Кноп




ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, сложный вариант, 21 октября 2012 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)

баллызадачи
4      
1.В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причем одинаковые цифры не стоят рядом. На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?
      
И. И. Богданов
5      
2.Чичиков играет с Ноздревым. Сначала Ноздрев раскладывает 222 ореха по двум коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 222. Далее Ноздрев перекладывает, если надо, один или несколько орехов в пустую третью коробочку и предъявляет Чичикову одну или две коробочки, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрев. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрев?
      
А. Подольский
6      
3.В некоторых клетках таблицы 11×11 стоят плюсы, причем всего плюсов четное количество. В каждом квадратике 2×2 этой таблицы тоже четное число плюсов. Докажите, что четно и число плюсов в 11 клетках главной диагонали таблицы.
      
Е. Бакаев
7      
4.Дан треугольник ABC. Пусть I - центр вписанной в него окружности, X, Y, Z - центры окружностей, вписанных в треугольники AIB, BIC и AIC соответственно. Оказалось, что центр окружности, вписанной в треугольник XYZ, совпадает с I. Обязательно ли тогда треугольник ABC равносторонний?
      
Б. Р. Френкин
8      
5.Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.
      
В. Брагин
      
6.
4      
а)Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырех точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых.
4      
б)Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n ≥ 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
      
И. В. Митрофанов
10      
7.Петя и Вася играют в игру, правила которой таковы. Петя загадывает натуральное число x с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число a и узнает у Пети сумму цифр числа |x−a|. Какое наименьшее число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить x?
      
С. Сафин


ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 - 11 классы, сложный вариант, 21 октября 2012 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)

баллызадачи
4      
1.Дана бесконечная последовательность чисел a1, a2, a3, ... Известно, что для любого номера k можно указать такое натуральное число t, что ak=ak+t=ak+2t=… Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное T, что ak=ak+T при любом натуральном k?
      
Л. Штейнгарц
5      
2.Чичиков играет с Ноздревым. Сначала Ноздрев раскладывает 1001 орех по трем коробочкам. Посмотрев на раскладку, Чичиков называет любое целое число N от 1 до 1001. Далее Ноздрев перекладывает, если надо, один или несколько орехов в пустую четвертую коробочку и предъявляет Чичикову одну или несколько коробочек, где в сумме ровно N орехов. В результате Чичиков получит столько мертвых душ, сколько орехов переложил Ноздрев. Какое наибольшее число душ может гарантировать себе Чичиков, как бы ни играл Ноздрев?
      
А. Подольский
6      
3.Машина ездит по кольцевой трассе по часовой стрелке. В полдень в две разных точки трассы встали два наблюдателя. К какому-то моменту машина проехала возле каждого наблюдателя не менее 30 раз. Первый наблюдатель заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду быстрее, чем предыдущий. Второй заметил, что машина проезжала каждый следующий круг ровно на секунду медленнее, чем предыдущий. Докажите, что прошло не менее полутора часов.
      
В. Брагин
8      
4.На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C1 и A1, отличные от вершин. Пусть K - середина A1C1, а I - центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырехугольник A1BC1I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.
      
А. А. Полянский
8      
5.Петя и Вася играют в игру, правила которой таковы. Петя загадывает натуральное число x с суммой цифр 2012. За один ход Вася выбирает любое натуральное число a и узнает у Пети сумму цифр числа |x−a|. Какое наименьшее число ходов необходимо сделать Васе, чтобы гарантированно определить x?
      
С. Сафин
      
6.
5      
а)Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.
5      
б)Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.
      
(Напомним, что икосаэдр - это правильный многогранник, у которого 20 треугольных граней и в каждой вершине сходятся 5 граней.)
      
И. В. Митрофанов
10      
7.Клетчатая полоска 1×1 000 000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причем в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую - на то количество клеток вправо, которое указано в ее клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента посчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди посчитанных чисел не более 100 различных.
      
И. В. Митрофанов




ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, базовый вариант, 24 февраля 2013 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты).
баллызадачи
3      
1.На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?
4      
2.Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нем в любом месте цифру 1. Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A+1?
      
(Замечание: если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)
4      
3.Даны 11 гирь разного веса (одинаковых нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит более 35 граммов.
5      
4.На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдается этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.
5      
5.В четырёхугольнике ABCD угол B равен 150°, угол C прямой, а стороны AB и CD равны. Найдите угол между стороной BC и прямой, проходящей через середины сторон BC и AD.


ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЁРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, базовый вариант, 24 февраля 2013 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.)
баллызадачи
3      
1.Одной операцией к числу можно либо прибавить 9, либо стереть в нем в любом месте цифру 1. Из любого ли натурального числа A при помощи таких операций можно получить число A+1?
      
(Замечание: если стирается единица в самом начале числа, а за ней сразу идут нули, то эти нули тоже стираются.)
4      
2.На катетах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вовне построили квадраты ACKL и BCMN. Пусть CE - высота, опущенная на гипотенузу AB. Докажите, что угол LEM прямой.
4      
3.На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдается этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.
4      
4.Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?
5      
5.Назовем приведенный квадратный трехчлен с целыми коэффициентами сносным, если его корни - целые числа, а коэффициенты не превосходят по модулю 2013. Вася сложил все сносные квадратные трехчлены. Докажите, что у него получился трехчлен, не имеющий действительных корней.


ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, сложный вариант, 10 марта 2013 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты)

баллызадачи
4      
1.На доске написаны несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них - степень двойки. Какое наибольшее число различных может быть среди этих чисел?
4      
2.Двадцать детей - десять мальчиков и десять девочек - встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка - сколько детей стоит слева от нее. Докажите, что сумма чисел мальчиков равна сумме чисел девочек.
5      
3.Можно ли в клетках таблицы 19×19 отметить несколько клеток так, чтобы во всех квадратах 10×10 было разное количество отмеченных клеток?
5      
4.По кругу расставили 1000 ненулевых чисел и раскрасили половину в белый цвет, а половину - в чёрный, так что цвета чередуются. Оказалось, что каждое чёрное число равно сумме двух соседних с ним чисел, а каждое белое число равно произведению двух соседних с ним чисел. Чему может быть равна сумма всех 1000 чисел?
6      
5.Назовем точку на плоскости узлом, если обе ее координаты - целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено ровно два узла. Докажите, что прямая, проходящая через эти два узла, либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
8      
6.Пусть I - центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, касающейся катетов AC и BC в точках B0 и A0 соответственно. Перпендикуляр, опущенный из A0 на прямую AI, и перпендикуляр, опущенный из B0 на прямую BI, пересекаются в точке P. Докажите, что прямые CP и AB перпендикулярны.
9      
7.В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Так как команда гуманитариев состоит из 20 человек, команда математиков - из 13, а стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, а тот становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.
ТРИДЦАТЬ ЧЕТВЕРТЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, сложный вариант, 10 марта 2013 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)

баллызадачи
3      
1.На доске написаны несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них - степень двойки. Какое наибольшее число различных может быть среди этих чисел?
4      
2.На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. Затем по одному пришли еще 20 детей, и каждый садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовем девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика - отважным, если он садился между двумя соседними девочками. В итоге оказалось, что на скамейке мальчики и девочки чередуются. Можно ли наверняка сказать, сколько среди них отважных?
6      
3.Назовем точку на плоскости узлом, если обе ее координаты - целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что найдется прямая, проходящая через два каких-то узла внутри треугольника, которая либо проходит через одну из вершин треугольника, либо параллельна одной из его сторон.
6      
4.Числа 1, 2, ..., 100 стоят по кругу в некотором порядке. Может ли случиться, что у любых двух соседних чисел модуль разности не меньше 30, но не больше 50?
7      
5.На бесцветной плоскости отметили три произвольные точки: красную, синюю и желтую. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки разного цвета и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке <<красный, синий, желтый>> (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может быть покрашена одновременно в несколько цветов.) Докажите, что сколько бы ходов не было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.
      
6.Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.
4      
а)Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, не являющиеся длинами сторон никакого треугольника.
5      
б)Докажите, что найдутся хотя бы шесть разных таких троек (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).
      
7.Для прохождения теста тысячу мудрецов выстраивают в колонну и надевают колпаки с номерами от 1 до 1001 (один колпак прячут). Каждый видит номера на колпаках впереди стоящих. Далее мудрецы по очереди, начиная с заднего, называют вслух числа от 1 до 1001 без повторений. Результат теста - число число мудрецов, назвавших номер своего колпака. Мудрецы заранее знали условия теста и могли договориться, как действовать.
5      
а)Могут ли они гарантировать результат более 500?
7      
б)Могут ли они гарантировать результат 999?