Задача 2. Почти арифметическая прогрессия

Предложена и представлялась К. Р. Салиховым.

Вводные задачи

Определение. Будем называть множество точек X из полуинтервала [0,1) всюду плотным, если для любого полуинтервала [a,b) c [0,1) существует такая точка x c X, что x c [a,b).
1. Докажите, что если X всюду плотно на [0,1), то для любого полуинтервала [a,b) c [0,1) существует бесконечно много таких точек x c X, что x c [a,b).
2.
а) Если a - рациональное число, то множество { {ka} | k c N} не является всюду плотным на [0,1) ({x} означает дробную часть x).
б) Если a - иррациональное число, то множество { {ka} | k c N } является всюду плотным на [0,1).

Для каждого фиксированного a и полуинтервала [a,b) c [0,1) рассмотрим множество K тех натуральных значений k, при которых {ka} c [a,b). Общая проблема состоит в том, чтобы при данных a и [a,b) описать это множество K. Так как K - подмножество N, то K удобно представлять себе как возрастающую последовательность натуральных чисел а0, а1, а2, ... (которая может, конечно, не содержать ни одного члена, если K пусто). Наша цель будет состоять в нахождении по данному номеру n числа an.

Основные задачи

Пусть m - натуральное число, 0 < a < 1/m. Для начала попытаемся найти множество K для числа a и полуинтервала [ma,1) c [0,1).
Легко видеть, что a0 = m.
3. Докажите, что K бесконечно.
4. Найдите a1.
Подсказка 1. Докажите, что существует и единственно t c N, такое, что (t-1)/((t-1)m+1) < a < t/(tm+1).
5. Пусть an и an+1 - два последовательных члена последовательности an. При каком условии (an+1-an) c K?
6. Какие значения может принимать разность аn+1-an?
Подсказка 2. Подумайте, когда, например, {(an+a1)a}c [ma,1).
7. Докажите, что (an-n) делится на m.
8. Докажите, что [ana] = (an-n)m-1 (где [x] - наибольшее целое число, не превосходящее x).
9. По данному n научитесь находить an.
10. Найдите все натуральные числа k, такие, что десятичная запись числа 3k начинается с цифры 9.

Задачи на исследование

11. Попробуйте заменить натуральное число m на какое-нибудь рациональное.
12. Что произойдет, если мы заменим полуинтервал [ma,1) на полуинтервал [ma, (p/q)a), где p,q - натуральные числа?

Warning: include(): https:// wrapper is disabled in the server configuration by allow_url_include=0 in /home/host1000218/turgor.ru/htdocs/www/SSI/finish.php on line 44

Warning: include(https://www.turgor.ru/SSI/footer_iner.html): failed to open stream: no suitable wrapper could be found in /home/host1000218/turgor.ru/htdocs/www/SSI/finish.php on line 44

Warning: include(): Failed opening 'https://www.turgor.ru/SSI/footer_iner.html' for inclusion (include_path='/home/host1000218/turgor.ru/htdocs/www/SSI') in /home/host1000218/turgor.ru/htdocs/www/SSI/finish.php on line 44