0
  

Двадцать седьмой Турнир Городов, 2005-2006


--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур
8 - 9 классы, тренировочный вариант, 16 октября 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. Дан треугольник ABC. Точки M_1, M_2, M_3 - середи-
  3         ны cторон AB, BC и AC, a точки H_1, H_2 и H_3 -
            основания высот, лежащие на тех же сторонах. Дока-
            жите, что из отрезков H_1M_2, H_2M_3 и H_3M_1 мож-
            но построить треугольник.

         2. В каждой вершине куба записано по числу. Вместо
  3         каждого числа записывают среднее арифметическое
            чисел, стоящих в трех соседних вершинах (числа за-
            меняют одновременно). После 10 таких операций в
            каждой вершине оказалось исходное число. Обяза-
            тельно ли все исходные числа были одинаковы?

         3. Отрезок единичной длины разбили на одиннадцать от-
  4         резков, длина каждого из которых не превосходит а.
            При каких значениях а можно утверждать, что из лю-
            бых трех получившихся отрезков можно составить
            треугольник?

         4. Шахматная фигура может сдвигаться на 8 или 9 кле-
  4         ток по горизонтали или вертикали. Запрещается хо-
            дить на одну и ту же клетку дважды. Какое наиболь-
            шее количество клеток может обойти эта фигура на
            доске 15*15 ? (Начать обход разрешается с любой
            клетки.)

         5. Есть 6 монет, одна из которых фальшивая (она отли-
  5         чается по весу от настоящей, но ее вес, как и вес
            настоящей монеты, неизвестен). Как за 3 взвешива-
            ния с помощью весов, показывающих общий вес взве-
            шиваемых монет, найти фальшивую монету?


--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур
10 - 11 классы, тренировочный вариант, 16 октября 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. Можно ли уместить два точных куба между соседними
  3         точными квадратами? Иными словами, имеет ли реше-
            ние в целых числах неравенство:
                        n^2 < a^3 < b^3 < (n+1)^2 ?

         2. Дан отрезок длины sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5}. 
  3         Можно ли построить циркулем и линейкой (на которой
            нет делений) отрезок длины 1?



         3. Есть 6 монет, одна из которых фальшивая (она отли-
  4         чается по весу от настоящей, но ее вес, как и вес
            настоящей монеты, неизвестен). Как за 3 взвешива-
            ния с помощью весов, показывающих общий вес взве-
            шиваемых монет, найти фальшивую монету?

         4. На сторонах прямоугольного треугольника ABC по-
            строены во внешнюю сторону квадраты с центрами D,
            E, F. Докажите, что отношение площадей треугольни-
            ков DEF и ABC
  2         а) больше 1;
  2         б) не меньше 2.

         5. На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько
  5         раз (через ребра) так, что куб снова оказался на
            исходном месте той же гранью вверх. Могла ли при
            этом верхняя грань повернуться на 90 градусов от-
            носительно своего начального положения?

* Примечание.

            Запись sqrt{2} + sqrt{3} + sqrt{5} означает:
            корень квадратный из двух плюс корень квадратный
            из трех плюс корень квадратный из пяти.


--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур
8 - 9 классы, основной вариант, 23 октября 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. Палиндром - это натуральное число, которое читает-
  3         ся одинаково слева направо и справа налево (напри-
            мер, 1, 343 и 2002 палиндромы, а 2005 - нет). Най-
            дется ли 2005 пар вида (n, n+110), где оба числа -
            палиндромы?

         2. Продолжения сторон AB и CD выпуклого четырехуголь-
  5         ника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AD
            =BC. Пусть M и N - середины сторон AB и CD. Дока-
            жите, что треугольник MNK тупоугольный.

         3. На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по
  6         ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, ко-
            торая бьет нечетное число ладей. Какое наибольшее
            число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга,
            если они стоят на одной вертикали или горизонтали
            и между ними нет других ладей).

         4. По краю многоугольного стола ползут два муравья.
            Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между
            муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья
            находятся на одной из сторон стола.
         а) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут про-
  2         ползти по краю стола так, чтобы в каждой точке
            края побывал каждый из муравьев?
         б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли му-
  4         равьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на
            краю не осталось точек, в которых не побывал ни
            один из муравьев?

         5. Найдите наибольшее натуральное число N, для кото-
  7         рого уравнение 99x+100y+101z=N имеет единственное
            решение в натуральных числах x, y, z.

         6. У Карлсона есть 1000 банок с вареньем. Банки не
  8         обязательно одинаковые, но в каждой не больше, чем
            1/100 часть всего варенья. На завтрак Карлсон мо-
            жет съесть поровну варенья из любых 100 банок. До-
            кажите, что Карлсон может действовать так, чтобы
            за некоторое количество завтраков съесть все ва-
            ренье.


--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур
10 - 11 классы, основной вариант, 23 октября 2005 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. При каких n найдутся такие различные натуральные
  3         числа a_1, a_2,..., a_n, что сумма
            a_1/a_2 + a_2/a_3 + ... + a_n/a_1 - целое число?

         2. По краю многоугольного стола ползут два муравья.
            Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между
            муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья
            находятся на одной из сторон стола.
         а) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут про-
  2         ползти по краю стола так, чтобы в каждой точке
            края побывал каждый из муравьев?
         б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли му-
  3         равьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на
            краю не осталось точек, в которых не побывал ни
            один из муравьев?

         3. На каждой клетке шахматной доски вначале стоит по
  5         ладье. Каждым ходом можно снять с доски ладью, ко-
            торая бьет нечетное число ладей. Какое наибольшее
            число ладей можно снять? (Ладьи бьют друг друга,
            если они стоят на одной вертикали или горизонтали
            и между ними нет других ладей).

         4. На окружности расставлено несколько положительных
  6         чисел, каждое из которых не больше 1. Докажите,
            что можно разделить окружность на три дуги так,
            что суммы чисел на соседних дугах будут отличаться
            не больше, чем на 1. (Замечание. Если на дуге нет
            чисел, то сумма на ней считается равной нулю.)

         5. Дан треугольник ABC, AA_1, BB_1 и CC_1 - его бис-
  7         сектрисы. Известно, что величины углов A, B и C
            относятся как 4:2:1. Докажите, что A_1B_1=A_1C_1.

         6. На доске можно либо написать две единицы, либо
  8         стереть любые два уже написанных одинаковых числа
            n и написать вместо них числа n + 1 и n - 1. Какое
            минимальное количество таких операций требуется,
            чтобы получить число 2005? (Сначала доска была
            чистой.)




--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур
8 - 9 классы, тренировочный вариант, 19 февраля 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусам. Сере-
  3         динный перпендикуляр к стороне AB пересекает пря-
            мую AC в точке N. Серединный перпендикуляр к сто-
            роне AС пересекает прямую AB в точке M. Докажите,
            что СB=MN.

         2. Таблица n*n заполнена по правилу: в клетках перво-
  3         го столбца записаны 1, в клетках второго - 2, ...
            , в клетках n-го - n. Числа на диагонали, соединя-
            ющей левое верхнее число с правым нижним, стерли.
            Докажите, что суммы чисел по разные стороны от
            этой диагонали отличаются ровно в два раза.

         3. Дано положительное число a. Известно, что нера-
  4         венство 1 < xa < 2 имеет ровно 3 решения в целых
            числах x. Сколько решений в целых числах x может
            иметь неравенство 2 < xa < 3 ? Укажите все возмож-
            ности.

         4. Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят
            орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их по-
            ровну между Борей и Витей, а остаток (если он
            есть) съедает. Затем все повторяется: каждый сле-
            дующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него
            орехи поровну между соседями, а остаток (если он
            есть) съедает. Орехов много (больше 3).
            Докажите, что:
  3         а) хотя бы один орех будет съеден;
  3         б) все орехи не будут съедены.

         5. У Пети есть n^3 белых кубиков 1*1*1. Он хочет сло-
            жить из них куб n*n*n, снаружи полностью белый.
            Какое наименьшее число граней кубиков должен Вася
            закрасить, чтобы помешать Пете?
            Решите задачу, если
  2         а) n=2;
  4         б) n=3.

(Примечание: n^3 - это n в степени 3).
--------------------------------------------------------------


--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур
10 - 11 классы, тренировочный вариант, 19 октября 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. Имеется выпуклый многогранник со 100 ребрами. Все
            его вершины срезали плоскостями-ножами близко от
            самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не
            пересекались друг с другом внутри или на границе
            многогранника). Найдите у полученного многогранни-
            ка
  1         а) число вершин;
  2         б) число ребер.

         2. Найдутся ли такие функции p(x) и q(x), что p(x) -
  3         четная функция, а p(q(x)) - нечетная функция (от-
            личная от тождественно нулевой)?

         3. Дано положительное число a. Известно, что нера-
  4         венство 10 < a^x < 100 имеет ровно 5 решений в на-
            туральных числах x. Сколько решений в натуральных
            числах x может иметь неравенство 100 < a^x < 1000?
            Укажите все возможности.

         4. Четырехугольник ABCD вписанный, AB = AD. На сторо-
  5         не BC взята точка M, а на стороне CD - точка N
            так, что угол MAN равен половине угла BAD. Докажи-
            те, что MN = BM + ND.

         5. У Пети есть n^3 белых кубиков 1*1*1. Он хочет сло-
            жить из них куб n*n*n, снаружи полностью белый.
            Какое наименьшее число граней кубиков должен Вася
            закрасить, чтобы помешать Пете?
            Решите задачу, если
  3         а) n=3;
  3         б) n=1000.




--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур
8 - 9 классы, основной вариант, 24 февраля 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. Бильярдный стол имеет вид прямоугольника 2*1, в
  4         углах и на серединах больших сторон которого рас-
            положены лузы. Какое наименьшее число шаров надо
            расположить внутри прямоугольника, чтобы любая лу-
            за находилась на одной линии с некоторыми двумя
            шарами? (Лузы и шары считайте точками.)

         2. Докажите, что можно найти 100 пар целых чисел, так
  4         чтобы в десятичной записи каждого числа все цифры
            были не меньше 6, и произведение чисел каждой пары
            тоже было числом, где все цифры не меньше 6.

         3. Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB
  5         и BC во внешнюю сторону построены равные прямоу-
            гольники ABMN и LBCK так, что AB = LB. Докажите,
            что прямые AL, CM и NK пересекаются в одной точке.

         4. Существует ли такое натуральное число n, что деся-
  5         тичная запись числа 2^n начинается цифрой 5, а де-
            сятичная запись числа 5^n начинается цифрой 2?

         5. В таблице 2005*2006 расставлены числа 0, 1, 2 так,
  6         что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке
            делится на 3. Какое наибольшее возможное количест-
            во единиц может быть в этой таблице?

         6. Криволинейный многоугольник - это многоугольник,
  7         стороны которого - дуги окружностей. Существуют ли
            такой криволинейный многоугольник P и такая точка
            A на его границе, что любая прямая, проходящая че-
            рез точку A, делит периметр многоугольника P на
            два куска равной длины?

         7. Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клет-
            чатой таблицы 5*5, заполненной 25 различными чис-
            лами. Юра выбирает наибольшее число в таблице, за-
            тем вычеркивает строку и столбец, содержащие это
            число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чи-
            сел, вычеркивает строку и столбец, содержащие это
            число, и т.д. Яша производит аналогичные действия,
            но выбирает наименьшие числа. Может ли случиться,
            что сумма чисел, выбранных Яшей
  6         а) больше суммы чисел, выбранных Юрой?
  2         б) больше суммы любых других 5 чисел исходной табли-
            цы, удовлетворяющих условию: никакие два из них не
            лежат в одной строке или в одном столбце?

--------------------------------------------------------------



--------------------------------------------------------------
ДВАДЦАТЬ СЕДЬМОЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур
10 - 11 классы, основной вариант, 24 февраля 2006 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наи-
лучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
--------------------------------------------------------------
баллы задачи

         1. Дан выпуклый 100-угольник. Докажите, что можно от-
  4         метить такие 50 точек внутри этого многоугольника,
            что каждая вершина будет лежать на прямой, соеди-
            няющей какие-то две из отмеченных точек.

         2. Существуют ли такие целые положительные числа n и
  5         k, что десятичная запись числа 2^n начинается чис-
            лом 5^k, а десятичная запись числа 5^n начинается
            числом 2^k?

         3. Дан многочлен P(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2. До-
  5         кажите, что любая целая положительная степень это-
            го многочлена имеет хотя бы один отрицательный ко-
            эффициент.

         4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AA', на
  6         отрезке AA' выбрана точка X. Прямая BX пересекает
            AC в точке B', а прямая CX пересекает AB в точке
            C'. Отрезки A'B' и CC' пересекаются в точке P, а
            отрезки A'C' и BB' пересекаются в точке Q. Докажи-
            те, что углы PAC и QAB равны.

         5. Докажите, что можно найти бесконечно много пар це-
  6         лых чисел, так чтобы в десятичной записи каждого
            числа все цифры были не меньше 7, и произведение
            чисел каждой пары тоже было числом, где все цифры
            не меньше 7.

         6. На окружности сидят 12 кузнечиков в различных точ-
            ках. Эти точки делят окружность на 12 дуг. По сиг-
            налу кузнечики одновременно прыгают по часовой
            стрелке, каждый - из конца своей дуги в ее середи-
            ну. Образуются новые 12 дуг, прыжки повторяются, и
            т.д. Может ли хотя бы один кузнечик вернуться в
            свою исходную точку после того, как им сделано
  4         а) 12 прыжков;
  3         б) 13 прыжков?

         7. Муравей ползает по замкнутому маршруту по ребрам
  8         додекаэдра, нигде не разворачиваясь назад. Маршрут
            проходит ровно два раза по каждому ребру. Докажи-
            те, что некоторое ребро муравей оба раза проходит
            в одном и том же направлении.
            (Напомним, что у додекаэдра 20 вершин, 30 ребер и
            12 одинаковых граней в виде пятиугольника, в каж-
            дой вершине сходится 3 грани.)


Дизайн сайта
интернет агентство "MindBridge Group"