Тридцать третий Турнир Городов,

ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 8 — 9 классы, базовый вариант, 9 октября 2011 г. (Итог под­во­дит­ся по трем задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты).

баллы	задачи
3	1. На на­иболь­шей стороне AB тре­уголь­ни­ка ABC взяли точки P и Q такие, что AQ=AC, BP=BC. Докажите, что центр ок­ружнос­ти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка PQC, сов­па­да­ет с центром ок­ружнос­ти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.
	В. Про­из­во­лов
4	2. Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изю­мин­ка­ми. Ока­залось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.
	Д. Баранов
4	3. Из клет­ча­того пря­мо­уголь­ни­ка 9×9 вырезали 16 клеток, у которых номера го­ризон­та­лей и вер­ти­калей четные. Раз­режь­те ос­тавшу­юся фигуру на нес­коль­ко клет­ча­тых пря­мо­уголь­ни­ков так, чтобы среди них было как можно меньше квад­ра­тиков 1×1.
	П. Ко­жев­ни­ков
4	4. В вершинах 33-уголь­ни­ка записали в не­кото­ром порядке целые числа от 1 до 33. Затем на каждой стороне написали сумму чисел в ее концах. Могут ли на сторонах ока­зать­ся 33 пос­ле­дова­тель­ных целых числа (в каком-нибудь порядке)?
	Н. Авилов
5	5. По шоссе в одну сторону движутся пешеход и ве­лоси­педист, в другую сторону — телега и машина. Все участ­ни­ки движутся с пос­то­ян­ны­ми ско­рос­тя­ми (каждый со своей). Ве­лоси­педист сначала обогнал пешехода, потом через не­кото­рое время встретил телегу, а потом ещё через такое же время встретил машину. Машина сначала встре­тила ве­лоси­педис­та, потом через не­кото­рое время встре­тила пешехода, и потом ещё через такое же время обогнала телегу. Ве­лоси­педист обогнал пешехода в 10 часов, а пешеход встретил машину в 11 часов. Когда пешеход встретил телегу?
	А. Шень

ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 10 — 11 классы, базовый вариант, 9 октября 2011 г. (Итог под­во­дит­ся по трем задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты.)

баллы	задачи
3	1. Гости за круглым столом ели изюм из корзины с 2011 изю­мин­ка­ми. Ока­залось, что каждый съел либо вдвое больше, либо на 6 меньше изюминок, чем его сосед справа. Докажите, что были съедены не все изюминки.
	Д. Баранов
4	2. В каждой клетке сек­ретной таблицы nxn записана одна из цифр от 1 до 9. Из них по­луча­ют­ся n-значные числа, за­писан­ные в строках слева направо и в столбцах сверху вниз. Петя хочет написать такое n-значное число без нулей в записи, чтобы ни это число, ни оно же, за­писан­ное задом наперёд, не сов­па­дало ни с одним из 2n чисел в строках и столбцах таблицы. В каком на­имень­шем ко­личест­ве клеток Петя должен для этого узнать цифры?
	Г. Галь­пе­рин
4	3. В выпуклом че­тыре­хуголь­ни­ке ABCD стороны равны со­от­ветс­твен­но: AB = 10, BC = 14, CD = 11, AD = 5. Найдите угол между его ди­аго­наля­ми.
	А. Толпыго
4	4. На­тураль­ные числа a < b < c таковы, что b+a делится на b−a, а c+b делится на c−b. Число a за­писы­ва­ет­ся 2011 цифрами, а число b за­писы­ва­ет­ся 2012 цифрами. Сколько цифр в числе c?
	Б. Френкин
5	5. На плос­кости даны 10 прямых общего по­ложе­ния (нет па­рал­лель­ных и никакие три не проходят через одну точку). При каждой точке пе­ресе­чения вы­бира­ет­ся на­имень­ший угол, об­ра­зован­ный про­ходя­щими через нее прямыми. Найдите на­иболь­шую воз­можную сумму всех этих углов.
	Р. Же­нода­ров

ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 8 — 9 классы, сложный вариант, 23 октября 2011 г. (Итог под­во­дит­ся по трём задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты)

---

баллы	задачи
3	1. Саша пишет на доске пос­ле­дова­тель­ность на­тураль­ных чисел. Первое число N > 1 написано заранее. Новые на­тураль­ные числа он получает так: вычитает из пос­ледне­го за­писан­но­го числа или при­бав­ля­ет к нему любой его делитель, больший 1. При любом ли на­тураль­ном N > 1 Саша сможет написать на доске в какой-то момент число 2011?
	А. Берд­ни­ков
4	2. На стороне AB тре­уголь­ни­ка ABC взята точка P такая, что AP=2PB, а на стороне AC — ее середина, точка Q. Известно, что CP=2PQ. Докажите, что тре­уголь­ник ABC пря­мо­уголь­ный.
	В. Про­из­во­лов
5	3. В наборе нес­коль­ко гирь, все веса которых различны. Известно, что если положить любую пару гирь на левую чашу, можно весы урав­но­весить, положив на правую чашу одну или нес­коль­ко гирь из ос­таль­ных. Найдите на­имень­шее воз­можное число гирь в наборе.
	А. Ша­пова­лов
6	4. На клет­ча­той доске из 2012 строк и k > 2 столбцов в какой-то клетке самого левого столбца стоит фишка. Двое ходят по очереди, за ход можно пе­ред­ви­нуть фишку вправо, вверх или вниз на одну клетку, при этом нельзя пе­ред­ви­гать фишку на клетку, в которой она уже побывала. Игра за­кан­чи­ва­ет­ся, как только один из игроков пе­ред­ви­нет фишку в самый правый столбец. Но будет ли такой игрок вы­иг­равшим или про­иг­равшим — со­об­ща­ет­ся игрокам только в тот момент, когда фишка попадает в пред­послед­ний столбец (второй справа). Может ли один из игроков обес­пе­чить себе выигрыш?
	А. Берд­ни­ков
6	5. Известно, что 0 < a, b, c, d < 1 и abcd = (1−a)(1−b)(1−c)(1−d). Докажите, что (a+b+c+d)-(a+c)(b+d) >= 1. Г. Галь­пе­рин
7	6. По прямому шоссе со ско­ростью 60 км/ч едет машина. Недалеко от дороги стоит 100-метровый забор, па­рал­лель­ный дороге. Каждую секунду пассажир ав­то­моби­ля измеряет угол, под которым виден забор. Докажите, что сумма всех из­ме­рен­ных им углов меньше 1100 градусов.
	А. Шень
9	7. Вершины пра­виль­но­го 45-уголь­ни­ка раск­ра­шены в три цвета, причём вершин каждого цвета поровну. Докажите, что можно выбрать по три вершины каждого цвета так, чтобы три тре­уголь­ни­ка, об­ра­зован­ные выб­ранны­ми од­ноцвет­ны­ми вер­ши­нами, были равны.
	В. Брагин

ТРИДЦАТЬ ТРЕТИЙ ТУРНИР ГОРОДОВ Осенний тур, 10 — 11 классы, сложный вариант, 23 октября 2011 г. (Итог под­во­дит­ся по трём задачам, по которым дос­тигну­ты на­илуч­шие ре­зуль­та­ты, баллы за пункты одной задачи сум­ми­ру­ют­ся.)

---

баллы	задачи
4	1. Петя отметил на плос­кости нес­коль­ко точек (больше двух), все расс­то­яния между которыми различны. Пару от­ме­чен­ных точек A,B назовём не­обыч­ной, если A — самая дальняя от B от­ме­чен­ная точка, а B — бли­жай­шая к A от­ме­чен­ная точка (не считая самой точки A). Какое на­иболь­шее воз­можное ко­личест­во не­обыч­ных пар могло по­лучить­ся у Пети?
	Б. Френкин
4	2. Известно, что 0 < a, b, c, d < 1 и abcd = (1−a)(1−b)(1−c)(1−d). Докажите, что (a+b+c+d)-(a+c)(b+d) >= 1. Г. Галь­пе­рин
5	3. В тре­уголь­ни­ке ABC точки A1, B1, C1 — ос­но­вания высот из вершин A, B, C, точки CA и CB — проекции C1 на AC и BC со­от­ветс­твен­но. Докажите, что прямая CACB делит пополам отрезки C1A1 и C1B1.
	Фольклор, пред­ло­жил Г. Фельдман
	4. Су­щест­ву­ет ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе y=x2, если
3	а) N=2011;
4	б) N=2012?
	И. Богданов
7	5. Назовем на­тураль­ное число хорошим, если все его цифры не­нуле­вые. Хорошее число назовем особым, если в нем хотя бы k разрядов и цифры идут в порядке строгого воз­раста­ния (слева направо). Пусть имеется некое хорошее число. За ход раз­ре­ша­ет­ся при­писать с любого края или вписать между любыми его двумя цифрами особое число или же наоборот, стереть в его записи особое число. При каком на­иболь­шем k можно из любого хорошего числа получить любое другое хорошее число с помощью таких ходов?
	А. Берд­ни­ков
7	6. Докажите, что при на­тураль­ном n > 1 число 11+33+55+…+(2n−1)2n−1 делится на 2n, но не делится на 2n+1. (В сумме участ­ву­ет каждое нечетное число k от 1 до 2n−1, воз­ве­ден­ное в степень k.)
	С. Сафин
9	7. 100 красных точек раз­де­лили синюю ок­ружность на 100 дуг, длины которых являются всеми на­тураль­ны­ми числами от 1 до 100 в про­из­воль­ном порядке. Докажите, что су­щест­ву­ют две пер­пенди­куляр­ные хорды с красными концами.
	В. Про­из­во­лов