Двадцать пятый Турнир Городов, 2003-2004

• Доступны решения весеннего тура, 8 - 11 классы (тренировочный + основной)
  • в формате MS Word (*.doc)

баллы  задачи

         1. Каждая грань  параллелепипедной  коробки с ребрами
  3         3,  4,  5 разделена на единичные квадратики. Можно
            ли  вписать во все квадратики по числу так,  чтобы
            сумма чисел в каждом клетчатом  кольце  ширины  1,
            опоясывающем коробку, равнялась 120?

         2. В семиугольнике A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 диаго-
  4         нали А_1 А_3,  А_2 А_4, А_3 А_5, A_4 A_6, A_5 A_7,
            A_6 A_1 и A_7 A_2 равны между собой. Диагонали А_1
            А_4, А_2 А_5, А_3 А_6, A_4 A_7, A_5 A_1, A_6 A_2 и
            A_7 A_3 тоже равны  между  собой.  Обязательно  ли
            этот семиугольник равносторонний?

         3. У каждого  целого  числа от n+1 до 2n включительно
  4         (где n - натуральное) возьмем  наибольший нечетный
            делитель и сложим все эти делители.  Докажите, что
            получится n^2.

         4. N точек плоскости, никакие три из которых не лежат
  4         на одной прямой, попарно соединили отрезками (каж-
            дую с каждой).  Часть отрезков покрасили  красным,
            остальные  -  синим.  Красные  отрезки  образовали
            замкнутую несамопересекающуюся  ломаную,  и  синие
            отрезки  -  тоже.  Найдите все N,  при которых это
            могло получиться.

         5. На полоске 1*N на 25 левых полях стоят  25  шашек.
  5         Шашка  может  ходить  на соседнюю справа свободную
            клетку или перепрыгнуть через соседнюю справа шаш-
            ку  на  следующую  за  ней клетку (если эта клетка
            свободна),  движение влево не разрешается. При ка-
            ком  наименьшем N все шашки можно переставить под-
            ряд без пробелов в обратном порядке?

баллы  задачи

         1. У каждого целого числа от n+1 до  2n  включительно
  3         (где  n - натуральное) возьмем наибольший нечетный
            делитель и сложим все эти делители.  Докажите, что
            получится n^2.

         2. Какое наименьшее  количество  квадратиков 1*1 надо
  4         нарисовать,  чтобы получилось изображение квадрата
            25*25, разделенного на 625 квадратиков 1*1?

         3. У продавца  и покупателя в сумме 1999 рублей моне-
  5         тами и купюрами в 1,  5,  10,  50, 100, 500 и 1000
            рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, при-
            чем денег у покупателя достаточно.  Докажите,  что
            покупатель сможет купить кота, получив причитающу-
            юся сдачу.

         4. На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах
            построены  прямоугольные  треугольники (во внешнюю
            сторону). Пусть A, B, C, D - вершины прямых углов,
            а O_1,  O_2, O_3, O_4 - центры вписанных окружнос-
            тей этих треугольников. Докажите, что
  3         а) площадь четырехугольника ABCD не превосходит 2;
  3         б) площадь четырехугольника O_1  O_2  O_3  O_4  не
            превосходит 1.

         5. Бумажный тетраэдр разрезали по ребрам так, что по-
  6         лучилась плоская развертка.  Могло  ли  случиться,
            что  эту развертку нельзя расположить на плоскости
            без наложений (в один слой)?

баллы  задачи

         1. Сто целых положительных чисел  образуют возрастаю-
  4         щую арифметическую  прогрессию. Возможно ли, чтобы
            любые два из этих чисел были взаимно простыми?

         2. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком
  5         с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем
            знаком.  Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно
            женить всех брюнетов так,  чтобы каждый из них же-
            нился на знакомой ему девушке!".  Вторая сваха го-
            ворит:  "А  я могу устроить судьбу всех блондинок:
            каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот ди-
            алог услышал любитель математики,  который сказал:
            "В таком случае можно сделать и  то,  и  другое!".
            Прав ли он?

         3. Найдите все целые положительные числа k, для кото-
  5         рых найдутся такие целые положительные числа  m  и
            n, что m(m+k)=n(n+1).

         4. Какое наименьшее  число  клеток  надо  отметить на
  6         доске 15*15 так, чтобы слон, поставленный на любую
            клетку доски, бил не менее двух отмеченных клеток?
            (Слон бьет по двум диагоналям,  на пересечении ко-
            торых он стоит;  слон,  поставленный на отмеченную
            клетку, бьет эту клетку.)

         5. Дан квадрат ABCD,  внутри которого лежит точка  O.
  7         Докажите,  что сумма углов OAB, OBC, OCD и ODA от-
            личается от 180 градусов не больше, чем на 45 гра-
            дусов.

         6. Дана коробка  (прямоугольный  параллелепипед),  по
  7         поверхности (но не внутри) которой  ползает  мура-
            вей.  Изначально  муравей сидит в углу.  Верно ли,
            что среди всех  точек  поверхности  на  наибольшем
            расстоянии  от  муравья  находится противоположный
            угол?  (Расстоянием между точками,  с точки зрения
            муравья,  является  длина  кратчайшего  пути между
            этими точками, проходящего по поверхности паралле-
            лепипеда.)

         7. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4,
  8         ...  , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... ,
            2001). Ходят по очереди, начинает первый.  Ход со-
            cтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить,  вы-
            кладывает  одну из своих  карточек,  а другой, по-
            смотрев на нее,  выкладывает одну из своих  карто-
            чек; тот, у кого число на карточке больше, записы-
            вает себе одно очко, а обе выложенные карточки вы-
            брасываются.  Всего  получается 1000 ходов (и одна
            карточка второго не используется). Какое  наиболь-
            шее число очков может гарантировать себе каждый из
            игроков (как бы ни играл его соперник)?

баллы  задачи

         1. Имеется несколько юношей, каждый из которых знаком
  4         с некоторыми девушками. Две свахи знают, кто с кем
            знаком.  Одна сваха заявляет: "Я могу одновременно
            женить всех брюнетов так,  чтобы каждый из них же-
            нился на знакомой ему девушке!".  Вторая сваха го-
            ворит:  "А  я могу устроить судьбу всех блондинок:
            каждая выйдет замуж за знакомого юношу!". Этот ди-
            алог услышал любитель математики,  который сказал:
            "В таком случае можно сделать и  то,  и  другое!".
            Прав ли он?

         2. Докажите, что любое целое положительное число мож-
  4         но представить в виде
            3^{u_1}*2^{v_1}+3^{u_2}*2^{v_2}+ ...
            +3^{u_k}*2^{v_k}, где u_1 > u_2 > ... > u_k >= 0 и
            0 <= v_1 < v_2 < ... < v_k - целые числа.

         3. Дана коробка  (прямоугольный  параллелепипед),  по
  6         поверхности (но не внутри) которой  ползает  мура-
            вей.  Изначально  муравей сидит в углу.  Верно ли,
            что среди всех  точек  поверхности  на  наибольшем
            расстоянии  от  муравья  находится противоположный
            угол?  (Расстоянием между точками,  с точки зрения
            муравья,  является  длина  кратчайшего  пути между
            этими точками, проходящего по поверхности паралле-
            лепипеда.)

         4. Дан треугольник ABC.  В нем H - точка  пересечения
  7         высот,  I - центр вписанной окружности,  O - центр
            описанной окружности,  K - точка касания вписанной
            окружности со стороной BC.  Известно,  что отрезки
            IO и BC параллельны. Докажите, что отрезки AO и HK
            параллельны.

         5. Играют двое. У первого 1000 четных карточек (2, 4,
  7         ...  , 2000), у второго 1001 нечетных (1, 3, ... ,
            2001). Ходят по очереди, начинает первый.  Ход со-
            cтоит в следующем: игрок, чья очередь ходить,  вы-
            кладывает  одну из своих  карточек,  а другой, по-
            смотрев на нее,  выкладывает одну из своих  карто-
            чек; тот, у кого число на карточке больше, записы-
            вает себе одно очко, а обе выложенные карточки вы-
            брасываются.  Всего  получается 1000 ходов (и одна
            карточка второго не используется). Какое  наиболь-
            шее число очков может гарантировать себе каждый из
            игроков (как бы ни играл его соперник)?

         6. У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с об-
  7         щим ребром AB) равна сумме площадей двух оставших-
            ся граней (с общим ребром CD). Докажите, что сере-
            дины   ребер  BC,  AD,  AC  и  BD  лежат  в  одной
            плоскости,  причем эта  плоскость  содержит  центр
            сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.

         7  а) В  таблице m*n расставлены знаки "+" и "-".  За
  3         один ход разрешается поменять знаки на  противопо-
            ложные в любой строке или столбце.  Докажите,  что
            если таблица такими  действиями  не  приводится  к
            таблице  из  одних  плюсов,  то в ней есть квадрат
            2*2, который тоже не приводится.
  6         б) В  таблице m*n расставлены знаки "+" и "-".  За
            один ход разрешается поменять знаки на  противопо-
            ложные в любой строке или столбце или на любой ди-
            агонали (угловые клетки тоже считаются  диагоналя-
            ми).  Докажите, что если таблица такими действиями
            не приводится к таблице из одних плюсов,  то в ней
            есть квадрат 4*4, который тоже не приводится.

баллы, задачи

        1. В треугольнике  ABC  биссектрисса угла  A, серединный
  3        перпендикуляр к  стороне  AB  и высота,  опущенная из
           вершины B,  пересекаются в одной точке. Докажите, что
           биссектрисса угла A,  серединный перпендикуляр к сто-
           роне AC и высота, опущенная из вершины C, также пере-
           секаются в одной точке.

        2. Найти все натуральные  n, для которых найдутся n иду-
  3        щих подряд натуральных чисел, сумма которых - простое
           число.

        3. а) Есть три одинаковых  больших сосуда. В одном - 3 л
  3        сиропа, в другом - 20 л воды,  третий - пустой. Можно
           выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в
           раковину.  Можно выбрать два сосуда и доливать в один
           из них из третьего,  пока уровни жидкости в выбранных
           сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленно-
           го 30-процентного сиропа?
  2        б) То же,  но воды - N л. При каких целых N можно по-
           лучить 10 л разбавленного 30-процентного сиропа?

        4. К натуральному числу a>1 приписали это же число и по-
  5        лучили число b,  делящееся на  a^2.  Найдите  b/(a^2)
           (укажите все ответы и докажите, что других нет).
           (организаторам: a^2 означает а в квадрате)

        5. Два десятизначных числа  назовем соседними,  если они
  6        различаются только  одной цифрой в каком-то из разря-
           дов. Например, числа 1234567890 и 1234507890 являются
           соседними.  Какое наибольшее количество десятизначных
           чисел можно выписать,  чтобы среди них не нашлись два
           соседних числа?

баллы, задачи

        1. Звенья  AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и ка-
  4        саются некоторой окружности с  центром  O.  Докажите,
           что точка касания этой окружности со звеном BC, точка
           O и точка пересечения прямых AC и BD лежат  на  одной
           прямой.

        2. К натуральному числу a>1 приписали это же число и по-
  4        лучили число b,  делящееся на  a^2.  Найдите  b/(a^2)
           (укажите все ответы и докажите, что других нет).

        3. Периметр выпуклого четырехугольника равен  2004, одна
  4        из диагоналей равна 1001.  Может ли вторая  диагональ
           быть равна 1? Равна 2? Равна 1001?

        4. Известно,  что среди членов  некоторой арифметической
  5        прогресии a_1, a_2, a_3, a_4, ... есть числа (a_1)^2,
           (a_2)^2 и (a_3)^2.  Докажите,  что эта прогрессия со-
           стоит из целых чисел.
           (организаторам: (a_1)^2 означает а первое в квадрате)

        5. Два десятизначных числа  назовем соседними,  если они
  5        различаются только  одной цифрой в каком-то из разря-
           дов. Например, числа 1234567890 и 1234507890 являются
           соседними.  Какое наибольшее количество десятизначных
           чисел можно выписать,  чтобы среди них не нашлись два
           соседних числа?

баллы задачи

       1. Конечная арифметическая  прогрессия состоит из целых
  4       чисел, и ее сумма - степень  двойки.  Докажите,  что
          количество  членов прогрессии - тоже степень двойки.

       2. Какое  максимальное  число шашек можно расставить на
  5       доске 8*8 так,  чтобы каждая была  под  боем?  (Если
          клетки шахматной доски x,  y, z стоят одна за другой
          подряд в диагональном направлении,  шашка a стоит на
          клетке x,  шашка b - на клетке y, и клетка z свобод-
          на, то шашка b под боем.)

       3. Курс акций компании  "Рога и копыта"  повышается или
  5       понижается каждый раз на n процентов, где n - фикси-
          рованное целое число,  0 < n < 100 (курс вычисляется
          с  неограниченной точностью).  Существует ли n,  для
          которого курс акций может дважды принять одно  и  то
          же значение?

       4. Две окружности пересекаются в точках A и B. Их общая
  6       касательная (та,  которая ближе к точке B)  касается
          окружностей  в  точках  E и F.  Прямая AB пересекает
          прямую EF в точке M.  На продолжении AM за  точку  M
          выбрана точка K так, что KM = MA. Прямая KE вторично
          пересекает окружность,  содержащую точку E,  в точке
          C.  Прямая KF вторично пересекает окружность, содер-
          жащую точку F, в точке D. Докажите, что точки C, D и
          A лежат на одной прямой.

       5. Имеется  биллиардный стол в виде  многоугольника (не
  6       обязательно выпуклого),  у которого любые две сосед-
          ние стороны перпендикулярны друг другу.  В  вершинах
          находятся точечные лузы,  попав в которые шарик про-
          валивается.  Из вершины A с внутренним углом 90 гра-
          дусов вылетает точечный шарик и движется внутри мно-
          гоугольника,  отражаясь от сторон  по  закону  "угол
          падения равен углу отражения".  Докажите, что он ни-
          когда не вернется в вершину A.

       6. Первоначально на доске написано число 2004! (то есть
  7       1*2*3* ...*2004). Два игрока ходят по очереди. Игрок
          в свой  ход  вычитает из написанного числа какое-ни-
          будь натуральное число, которое делится не более чем
          на 20  различных простых чисел (так,  чтобы разность
          была неотрицательна),  записывает на доске эту  раз-
          ность,  а старое число стирает.  Выигрывает тот, кто
          получит 0. Кто из играющих - начинающий, или его со-
          перник, - может гарантировать себе победу, и как ему
          следует играть?

баллы задачи

       1. Курс акций компании  "Рога и копыта"  повышается или
  4       понижается каждый раз на n процентов, где n - фикси-
          рованное целое число,  0 < n < 100 (курс вычисляется
          с  неограниченной точностью).  Существует ли n,  для
          которого курс акций может дважды принять одно  и  то
          же значение?

       2. Имеется  биллиардный  стол в виде многоугольника (не
  6       обязательно выпуклого),  у которого все углы состав-
          ляют  целое число градусов,  а угол A - в точности 1
          градус.  В вершинах находятся точечные лузы, попав в
          которые  шарик проваливается.  Из вершины A вылетает
          точечный шарик и движется внутри многоугольника, от-
          ражаясь от сторон по закону "угол падения равен углу
          отражения".  Докажите,  что он никогда не вернется в
          вершину A.

       3. Проекция треугольной пирамиды на некоторую плоскость
  6       имеет максимально возможную площадь.  Докажите,  что
          эта плоскость параллельна либо одной из граней пира-
          миды, либо двум скрещивающимся ребрам пирамиды.

       4. Первоначально на доске написано число 2004! (то есть
  6       1*2*3* ...*2004). Два игрока ходят по очереди. Игрок
          в свой  ход  вычитает из написанного числа какое-ни-
          будь натуральное число, которое делится не более чем
          на 20  различных простых чисел (так,  чтобы разность
          была неотрицательна),  записывает на доске эту  раз-
          ность,  а старое число стирает.  Выигрывает тот, кто
          получит 0. Кто из играющих - начинающий, или его со-
          перник, - может гарантировать себе победу, и как ему
          следует играть?

       5. На плоскости даны парабола y=x^2 и окружность, имею-
  7       щие ровно две общие точки: A и B. Оказалось, что ка-
          сательные к окружности и параболе в точке A совпада-
          ют.  Обязательно ли тогда касательные к окружности и
          параболе в точке B также совпадают?

       6. Перед экстрасенсом кладут колоду из 36 карт рубашкой
          вверх. Он  называет масть верхней карты,  после чего
          карту открывают, показывают ему и откладывают в сто-
          рону.  После этого экстрасенс называют масть следую-
          щей карты, и т.д. Задача экстрасенса - угадать масть
          как  можно  большее число раз.  На деле рубашки карт
          несимметричны,  и экстрасенс видит,  в каком из двух
          положений  лежит верхняя карта.  Колода подготовлена
          подкупленным служащим. Служащий знает порядок карт в
          колоде,  и  хотя  изменить его не может,  зато может
          подсказать,  располагая рубашки карт так  или  иначе
          согласно  договоренности.  Может ли экстрасенс с по-
          мощью такой подсказки гарантированно обеспечить уга-
          дывание масти
  3       a) более чем у половины карт?
  5       б) не менее чем у 20 карт?