Двадцатый первый Турнир, 1999-2000

Задача 2.(2+2)
Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.
а)(2) Может ли случиться, что d = 2?
б)(2) Может ли случиться, что d - простое число?
(Простым называется целое число, большее 1, которое не имеет делителей, отличных от него самого и единицы; вот первые простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, ... .)

Задача 3.(4)
На плоскости проведено n прямых. Каждая пересекается ровно с 1999 другими.
Найдите n. (Укажите все возможности.)

Задача 4.(4)
В Италии выпускают часы, в которых часовая стрелка делает в сутки один оборот, а минутная - 24 оборота, причем, как обычно, минутная стрелка длинее часовой (в обычных часах часовая стрелка делает в сутки два оборота, а минутная - 24). Рассмотрим все положения двух стрелок и нулевого деления итальянских часов, которые встречаются и на обычных часах.
Сколько таких положений существует на итальянских часах в течение суток? (Нулевое деление отмечает 24 часа в итальянских часах и 12 часов в обычных часах).

Задача 5.(4)
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2*1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причем плашек каждого сорта имеется достаточно много.
Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6*6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Задача 2.(4)
Докажите, что существует бесконечно много целых положительных нечетных n, для которых число 2ⁿ + n - составное. (Составным называется целое положительное число, которое имеет делители, отличные от него самого и единицы.)

Задача 3.(4)
В пространстве проведено n плоскостей. Каждая пересекается ровно с 1999 другими.
Найдите n. (Укажите все возможности.)

Задача 4.(4)
Можно ли отметить на числовой оси 50 отрезков (быть может, перекрывающихся), так что выполняются два условия:
а) длины отрезков - 1, 2, 3, ... , 50;
б) концы отрезков - это все целые точки от 1 до 100 включительно?

Задача 5.(4)
Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2*1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причем плашек каждого сорта имеется достаточно много.
Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8x8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Задача 2. Пусть ABC - остроугольный треугольник, C' и A' - произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' - середина стороны AC.

а)(2) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.

б)(2) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Задача 3.(5) 100 гирек 1, 2, ..., 100 грамм разложили на две чаши весов так, что есть равновесие. Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

Задача 4.

а)(3) На каждом из полей верхней и нижней горизонтали шахматной доски 8*8 стоит по фишке: внизу - белые, вверху - черные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на соседнюю свободную клетку по вертикали или горизонтали. За какое наименьшее число ходов можно добиться того, чтобы все черные фишки стояли внизу, а белые - вверху?

б)(4) Тот же вопрос для доски 7*7.

Задача 5.(8) Неутомимые Фома и Ерема строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерема - вычитая из предыдущего любую из его цифр. Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Задача 6.(9) Внутри прямоугольного листа бумаги вырезали n прямоугольных дыр со сторонами, параллельными краям листа. На какое наименьшее число прямоугольных частей можно гарантированно разрезать этот дырявый лист? (Покажите, что в любом случае можно разрезать на найденное Вами число частей, а не меньшее число частей в некоторых случаях разрезать нельзя.)

Задача 1.(3)
При каких n можно расставить целые числа от 1 до n по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел делилась нацело на следующее за ними по часовой стрелке?

Задача 2.(2+3)
На прямоугольном листе бумаги отмечены
а)(2) несколько точек на одной прямой;
б)(3) три точки.
Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем шилом проколоть сложенный лист насквозь.
Докажите, что можно добиться, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.

Задача 3.(6)
Неутомимые Фома и Ерема строят последовательность. Сначала в последовательности одно натуральное число. Затем они по очереди выписывают следующие числа: Фома получает очередное число, прибавляя к предыдущему любую из его цифр, а Ерема - вычитая из предыдущего любую из его цифр.
Докажите, что какое-то число в этой последовательности повторится не меньше 100 раз.

Задача 4.(3+3)
Точки K, L на сторонах AC, CB треугольника ABC - это точки, в которых вневписанные окружности касаются сторон.
Докажите, что прямая, соединяющая середины KL и AB,
а)(3) делит периметр треугольника ABC пополам;
б)(3) параллельна биссектрисе угла ACB.

Задача 4.(4+4)
а)(4) 100 гирек 1, 2, ..., 100 грамм разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.
б)(4) Рассмотрим такие n, что набор гирь 1, 2, ... , n грамм можно разделить на две части, равные по весу.
Верно ли, что для любого такого n, большего трех, можно убрать по две гирьки из каждой части так, что равенство весов сохранится?

Задача 6.(8)
На большой шахматной доске отметили 2n клеток так, что ладья может ходить по всем отмеченным клеткам, не перепрыгивая через неотмеченные.
Докажите, что фигуру из отмеченных клеток можно разрезать на n прямоугольников.

Задача 7.(8)
Докажите, что у выпуклого 10n-гранника найдется n граней с одинаковым числом сторон.

Задача 1.(3)
Может ли произведение двух последовательных целых положительных чисел равняться произведению двух соседних положительных четных чисел?

Задача 2.(4)
В трапеции ABCD площади 1 основания BC и AD относятся как 1:2. Пусть K - середина диагонали AC. Прямая DK пересекает сторону AB в точке L.
Найдите площадь четырехугольника BCKL.

Задача 3.(2+3)
а)(2) Докажите, что вершины 3n-угольной призмы можно раскрасить тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана ребрами с вершинами всех трех цветов.
б)(3) Докажите, что если вершины n-угольной призмы можно раскрасить тремя красками так, чтобы каждая вершина была связана ребрами с вершинами всех трех цветов, то n делится нацело на 3.
(Напоминание: основания n-угольной призмы - равные n-угольники.)

Задача 4.(5) Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

Задача 1.(3)
Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Оказалось, что сумма площадей двух протиповоложных (имеющих только общую вершину) треугольников равна сумме площадей двух других треугольников.
Докажите, что одна из диагоналей делится другой диагональю пополам.

Задача 2.(4)
На двух противоположных гранях игрального кубика нарисовано по одной точке, на двух других противоположных - по две точки, и на двух оставшихся - по три точки. Из восьми таких кубиков сложили куб 2*2*2, и посчитали суммарное число точек на каждой из его шести граней.
Могли ли получиться 6 последовательных чисел?

Задача 3.(4)
Докажите неравенство:
1^k+2^k+...+n^k < (n^2k - (n-1)^k)/(n^k - (n-1)^k)
при любых целых положительных n и k.

Задача 4.(3+3)
Существует ли бесконечная последовательность, состоящая из
а)(3) действительных
б)(3) целых
чисел, такая, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих 10n+1 чисел отрицательна?

Задача 1.(3)
Найдите все действительные корни уравнения
(x+1)²¹+(x+1)²⁰(x-1)+(x+1)¹⁹(x-1)²+...+(x-1)²¹.

Задача 2.(3)
Длины оснований трапеции - целые числа.
Докажите, что ее можно разбить на равные треугольники.

Задача 3.(6)
Дана окружность и точка A внутри нее. Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где B и D - точки окружности.

Задача 4.(7)
Разбойники Хапок и Глазок делят кучу из 100 монет. Хапок захватывает из кучи пригоршню монет, а Глазок, глядя на пригоршню, решает, кому из двоих она достается. Так продолжается, пока кто-то из них не получит 9 пригоршней, после чего другой забирает все оставшиеся монеты (дележ может закончиться и тем, что монеты будут разделены прежде, чем кто-то получит 9 пригорш ней). Хапок может захватить в пригоршню сколько угодно монет.
Какое наибольшее число монет он может гарантировать себе независимо от действий Глазка? (Укажите это число, покажите, как Хапок может его себе гарантировать, и докажите, что большего он гарантировать не может).

Задача 5.(7)
Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске 5*5 так, чтобы каждый из них бил ровно двух других? (Укажите расстановку и докажите, что нельзя расставить большее число коней с выполнением условия задачи.)

Задача 6.(10)
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью - пол-очка, за проигрыш - ноль. Назовем партию неправильной, если выигравший ее шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
Докажите, что неправильные партии составляют меньше 3/4 общего числа партий в турнире.

Задача 1.(3)
Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь (m+2000n)/(n+2000m) можно сократить на число d.
Каково наибольшее возможное значение d?

Задача 2.(5)
Хорды AC и BD окружности с центром O пересекаются в точке K. M и N - центры окружностей, описанных около треугольников AKB и CKD.
Докажите, что OM = KN.

Задача 3.(5)
В колоде часть карт лежит рубашкой вниз. Время от времени Петя вынимает из колоды пачку из одной или нескольких подряд идущих карт, в которой верхняя и нижняя карты лежат рубашкой вниз, переворачивает всю пачку как одно целое и вставляет в то же место колоды.
Докажите, что в конце концов все карты лягут рубашкой вверх независимо от того, как Петя выбирает пачки. (Примечание: если "пачка" состоит лишь из одной карты, то требуется только, чтобы она лежала рубашкой вниз.)

Задача 4.(5)
На плоскости, разграфленной сеткой вертикальных и горизонтальных прямых на квадратные клетки, нарисован выпуклый многоугольник так, что все его вершины находятся в вершинах клеток, и ни одна из его сторон не вертикальна и не горизонтальна.
Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков сетки внутри многоугольника равна сумме длин горизонтальных отрезков сетки внутри многоугольника.

Задача 5.(7)
Найдите максимальное число N, для которого существуют такие N последовательных целых положительных чисел, что сумма цифр первого числа делится нацело на 1, сумма цифр второго числа - на двойку, сумма цифр третьего числа - на тройку, и т.д., сумма цифр N-го числа делится нацело на N.

Задача 6.(6+6)
В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью - пол-очка, за проигрыш - ноль. Назовем партию неправильной, если выигравший ее шахматист в итоге набрал очков меньше, чем проигравший.
а)(6) Докажите, что неправильные партии составляют меньше 3/4 общего числа партий в турнире.
б)(6) Докажите, что в пункте а) число 3/4 нельзя заменить на меньшее.