 |
- Доступны решения осеннего тура
Тридцать первый Турнир Городов, 2009-2010
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, базовый вариант, 18 октября 2009 г.
(Итог подводится по трем задачам,_ по которым достигнуты наилуч-
шие результаты.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Можно ли квадрат разрезать на 9 квадратов и раскрасить
3 их так, чтобы получились 1 белый, 3 серых и 5 черных
квадратов, причем одноцветные квадраты были бы равны, а
разноцветные квадраты --- не равны?
(Н.И.Авилов)
2. Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ... , 40 г. Из них вы-
4 брали 10 гирь четной массы и положили на левую чашу ве-
сов. Затем выбрали 10 гирь нечетной массы и положили на
правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажи-
те, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью
масс в 20 г.
(В.В.Произволов)
3. На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока
4 возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квад-
раты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:
1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе
круга;
2) квадраты не перекрываются;
3) каждый следующий квадрат касается предыдущего верши-
ной к вершине.
Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и
докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся
вершинами.
(А.В.Шаповалов)
4. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, на-
5 зовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Из-
вестно, что сейф откроется, если введен хороший код и
на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответству-
ющей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть
сейф быстрее чем за 7 попыток?
(Д.В.Баранов)
5. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый
5 пригласил к себе в друзья по 1000 человек. Два человека
объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый
из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее ко-
личество пар друзей могло образоваться?
(А.Ю.Эвнин)
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 - 11 классы, базовый вариант, 18 октября 2009 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты.)
----------------------------------------------------------------
баллы задачи
1. Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, на-
4 зовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Из-
вестно, что сейф откроется, если введен хороший код и
на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответству-
ющей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть
сейф быстрее чем за 7 попыток?
(Д.В.Баранов)
2. В пространстве расположена замкнутая шестизвенная лома-
4 ная ABCDEF, противоположные звенья которой параллельны
(AB || DE, BC || EF и CD || FA). При этом AB не равно
DE. Докажите, что все звенья ломаной лежат в одной
плоскости.
(В.В.Произволов)
3. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что
4 a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 100^{100}?
(М.В.Мурашкин)
4. На сторонах правильного 2009-угольника отметили по точ-
4 ке. Эти точки являются вершинами 2009-угольника площади
S. Каждую из отмеченных точек отразили относительно се-
редины стороны, на которой эта точка лежит. Докажите,
что 2009-угольник с вершинами в отраженных точках также
имеет площадь S.
(П.А.Кожевников)
5. В стране две столицы и несколько городов, некоторые из
5 них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Из-
вестно, что на любом пути из южной столицы в северную
имеется не меньше десяти платных дорог. Докажите, что
все платные дороги можно раздать десяти компаниям так,
чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись
дороги каждой из компаний.
(И.В.Нетай, Д.В.Баранов)
Примечание:
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = 100^{100}? означает:
сумма кубов чисел a, b, c, d равна 100 в сотой степени.
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
8 - 9 классы, сложный вариант, 25 октября 2009 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты.)
----------------------------------------------------------------
Доступен в PDF-формате.
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Осенний тур,
10 - 11 классы, сложный вариант, 25 октября 2009 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты наилуч-
шие результаты.)
----------------------------------------------------------------
Доступен в PDF-формате.
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, базовый вариант, 28 февраля 2010 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты
наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
1. [3 балла] В шести корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число
слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе
взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных
корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится
на 31.
(М.Мурашкин, А.Шаповалов)
2. [3 балла] Малыш и Карлсон режут квадратный торт. Карлсон выби-
рает на нем точку (не на границе). После этого Малыш делает прямоли-
нейный разрез от выбранной точки до края (в любом направлении).
Затем Карлсон проводит второй прямолинейный разрез от вы-бранной
точки до края, перпендикулярный первому, и отдает меньший из получи-
вшихся двух кусков Малышу. Малыш хочет получить хотя бы четверть
торта. Может ли Карлсон ему помешать?
(М.Мурашкин)
3. Нарисован угол, и еще имеется только циркуль.
а) [2 балла] Какое наименьшее число окружностей надо провести,
чтобы наверняка опреде-лить, является ли данный угол острым?
б) [2 балла] Как определить, равен ли данный угол 31? (разрешается
проводить сколько угод-но окружностей)?
(Г.Фельдман, Д.Баранов)
4. [5 баллов] Среди участников олимпиады каждый знаком не менее чем
с тремя другими. Докажите, что можно выбрать группу из четного числа
участников (больше двух человек) и посадить их за круглый стол так,
чтобы каждый был знаком с обоими соседями. (Фольклор)
5. [5 баллов] На доске записано 101 число: 1^2, 2^2, :, 101^2. За одну
операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать
модуль их разности. Какое наименьшее число может получиться в резуль-
тате 100 операций? (М.Малкин)
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, базовый вариант, 28 февраля 2010 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты
наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
1. [3 балла] Из Южной Америки в Россию 2010 кораблей везут бананы,
лимоны и ананасы. Число бананов на каждом корабле равно числу лимонов
на остальных кораблях вместе взятых, а число лимонов на каждом корабле
равно числу ананасов на остальных кораблях вместе взятых. Докажите,
что общее число фруктов делится на 31.
(М.Мурашкин, А.Шаповалов)
2. [4 балла] Про функцию f(x) известно следующее: любая прямая на
координатной плоскости имеет с графиком y = f(x) столько же общих
точек, сколько с параболой y = x^2. Докажите, что f(x) тождественно равна x^2.
(А.Шаповалов)
3. [5 баллов] Можно ли поверхность октаэдра оклеить несколькими
правильными 6-угольника-ми без наложений и пробелов?
(Н.Авилов)
4. [5 баллов] Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный
многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить
ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только
по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не
ошибается ли барон?
(С.Маркелов)
5. [6 баллов] На плоскости лежит игла. Разрешается поворачивать иглу
на 45? вокруг любого из ее концов. Можно ли, сделав несколько таких
поворотов, добиться того, чтобы игла вер-нулась на исходное место, но
при этом ее концы поменялись местами?
(А.Грибалко)
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
8 - 9 классы, сложный вариант, 14 марта 2010 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты
наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
1. (3 балла). Есть кусок сыра. Разрешается выбрать любое положительное
(возможно, нецелое) число a, отличное от 1, и разрезать этот кусок в
отношении 1:a по весу, затем разрезать в том же отношении любой из
имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что после конечного
числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки равного веса?
(А.Шаповалов)
2. (4 балла). В треугольнике ABC точка M - середина стороны AC,
точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O.
Оказалось, что BO=BP. Найдите отношение OM:PC.
(М. Волчкевич)
3. На окружности расставлены 999 чисел, каждое равно 1 или -1,
причем не все числа одинаковые. Возьмем все произведения по 10 подряд
стоящих чисел и сложим их.
а) (3 балла). Какая наименьшая сумма может получиться?
б) (3 балла). А какая наибольшая?
(А.Толпыго)
4. (6 баллов). Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли
сумма цифр куба числа n равняться 1000000?
(А.Канель-Белов)
5. а) (3 балла). Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против
часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными
постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой
богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
б) (5 баллов). А если богатырей десять?
(А.Клячко, Е.Френкель)
6. (8 балов). На плоскости дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная,
в которой 31 звено (соседние звенья не лежат на одной прямой).
Через каждое звено провели прямую, содержащую это звено. Получили 31
прямую, некоторые, возможно, совпали. Какое наименьшее число различных
прямых могло получиться?
(А.Толпыго)
7. (11 баллов). На некоторых клетках доски 10x10 сидит по блохе.
Раз в минуту блохи одновременно прыгают, причем каждая - в соседнюю клетку
(по стороне). Блоха прыгает строго в одном из четырех направлений,
параллельных сторонам доски, сохраняет направление, пока это возможно,
иначе меняет его на противоположное. Пес Барбос наблюдал за блохами
в течение часа и ни разу не видел, чтобы две из них сидели на одной клетке.
Какое наибольшее количество блох могло прыгать по доске?
(М.Мурашкин)
----------------------------------------------------------------
ТРИДЦАТЬ ПЕРВЫЙ ТУРНИР ГОРОДОВ
Весенний тур,
10 - 11 классы, сложный вариант, 14 марта 2010 г.
(Итог подводится по трем задачам, по которым достигнуты
наилучшие результаты, баллы за пункты одной задачи суммируются.)
----------------------------------------------------------------
1. (3 балла). Можно ли все прямые на плоскости разбить на пары
перпендикулярных прямых так, чтобы каждая прямая входила ровно в одну пару?
(А.Шаповалов)
2. а) (2 балла). Есть кусок сыра. Разрешается выбрать иррациональное a>0
и разрезать этот кусок в отношении 1:a по весу, затем разрезать в том же
отношении любой из имеющихся кусков, и т.д. Можно ли действовать так, что
после конечного числа разрезаний весь сыр удастся разложить на две кучки
равного веса?
б) (2 балла). Тот же вопрос, но выбирается положительное рациональное a,
отличное от 1.
(А.Шаповалов)
3. (6 баллов). Можно ли, применяя к числу 1 функции sin, cos, tg, ctg,
arcsin, arccos, arctg, arcctg в некотором порядке, получить число 2010?
(Каждую функцию можно использовать сколько угодно раз.)
(С.Маркелов)
4. (6 баллов). На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы
один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который
все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который
больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно
на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв
о виденном фильме.)
(И.Митрофанов)
5. (7 баллов). Тридцать три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против
часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными
постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой
богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
(А.Клячко, Е.Френкель)
6. (8 баллов). Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром I.
Точки M и N - середины сторон AB и CD. Известно, что IM/AB=IN/CD. Докажите,
что ABCD - трапеция или параллелограмм.
(Н.Белухов, А.Заславский)
7. (9 баллов). Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами
числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа
123456789 можно получить 12345+6+789=13140). С полученным числом снова
разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из
любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.
(А.Толпыго)
|
Главная
